а) Доказать, что не существует таких целых чисел $%m$% и $%n$%, что $$m^2+n^2-mn=40$$

б) Доказать, что не существует таких целых чисел $%x$% и $%y$%, что $$x^2+y^2-xy=72$$

задан 23 Апр '17 12:32

изменен 23 Апр '17 12:34

По первой задаче. Если $%m^3+n^3$% делится на 5, то из $%m$%, $%n$% одно число чётное, другое нечётное. Отсюда следует, что сумма их кубов не делится на 2. По-моему, так…

(23 Апр '17 13:34) abracadabra11

@abracadabra11: пусть m=n=5, или m=n=10. Тогда сумма кубов делится на 5, но числа имеют ту же чётность.

(23 Апр '17 13:37) falcao

@falcao Ну и что? $%m^2 = 40$% заведомо не выполняется… А при разных $%m, n$% сказанное верно из рассмотрения остатков…

(23 Апр '17 13:42) abracadabra11

@abracadabra11: Вы сказали, что если m^3+n^3 делится на 5, то из чисел m,n одно чётное, а другое нечётное. Я привёл контрпример(ы). Здесь надо не спорить, а согласиться, и исправить сказанное.

(23 Апр '17 13:57) falcao

@falcao Да кто спорил-то? Сказанное верно, если оба числа не делятся на пять. А если делятся, то $%25(a^2+b^2-ab)=40$% при целых $%a$%, $%b$%, что всё равно невозможно… ЗЫ: первое исправление неверно, так как числа могут быть и разные; это только остатки у них одинаковые… Второе исправление справедливо…

(23 Апр '17 17:30) abracadabra11

Кстати, второй пример так не решить, потому что 72 делится на 9… В этом смысле он сложнее…

(23 Апр '17 17:56) abracadabra11

@abracadabra11: если есть некоторое заведомо неверное утверждение, то надо однозначно признать, что оно неверно. Любое другое означает "спор".

Если сумма кубов нечётна, то числа имеют разную чётность. Верно и обратное. Какое отношение свойство делимости на 5 имеет к вопросу о разной чётности? Ведь если мы заменим m на m+5, то делимость на 5 сохранится, а чётность изменится. Здесь вообще контрпримеров куча: m=6, n=4 можно взять (оба чётные). Или m=1, n=9 (оба нечётные).

Для суммы квадратов верно, что если m^2+n^2 делится на 5, то оба числа делятся на 5, и тогда всё вместе делится на 25.

(23 Апр '17 18:40) falcao

если есть некоторое заведомо неверное утверждение, то надо однозначно признать, что оно неверно

Зачем? Если что-то видно заведомо, то и говорить не стоит.

Здесь вообще контрпримеров куча

Хорошо.

(23 Апр '17 19:32) abracadabra11
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь вообще-то есть общий критерий, аналогичный тому, который как-то уже упоминался (насчёт представимости числа в виде суммы двух квадратов). Но для этих случаев возможен простой непосредственный анализ (при желании, даже перебор).

Уравнение $%x^2+y^2-xy=N$% домножаем на 4, получая $%(2x-y)^2+3y^2=4N$%. Заменим переменные: $%u^2+3v^2=4N$%. Числа $%u$%, $%v$% одинаковой чётности. Если они оба нечётны, то левая часть при делении на 8 даёт в остатке 4. Значит, при чётном N получается, что $%u$% и $%v$% чётны, и можно перейти к переменным $%u/2$%, $%v/2$%, деля уравнение на 4. При $%N=40$% мы в правой части сначала имеем 160, потом 40, потом 10. Здесь уже ясно, что 10 не представимо в виде $%u^2+3v^2$%. Это же видно без перебора вариантов из рассмотрения остатков от деления квадратов на 5: если число в правой части кратно 5, то легко проверить, что оба числа $%u$%, $%v$% должны делиться на 5, а тогда правая часть будет делиться и на 25. Этот "трюк" возможен со всеми нечётными простыми числами, у которых остаток от деления на 12 не равен ни 1, ни 7, что можно вывести из свойств символов Лежандра.

Для второго варианта, когда $%N=72$%, мы в правой части имеем 288, и далее 72, 18. Для числа 18 возможен прямой перебор. Также работает соображение, что $%u^2+3v^2$%, будучи чётным, всегда делится на 4. А также здесь правая часть делится на 3, и возможно рассуждение типа "метода бесконечного спуска": $%u$% делится на 3, полагаем $%u=3u_1$%, откуда $%3u_1^2+v^2=96$%: это уравнение того же вида. Далее вместо 96 появляется 32, и здесь уже используется предыдущее рассуждение с делением на 4 (это на случай применения к другим числам в правой части).

ссылка

отвечен 23 Апр '17 13:28

@falcao , большое спасибо!

(23 Апр '17 16:13) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,401
×1,119
×370
×211
×197

задан
23 Апр '17 12:32

показан
713 раз

обновлен
23 Апр '17 19:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru