-1

Числа a и b лежат между 0 и 1. Докажите неравенство (1+а+б)в кватрате больше или равно 4(aa+б*б)

задан 23 Апр '17 15:05

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$0 \le a \le 1 \ , \ 0 \le b \le 1$$

$$ (1+a+b)^2\ge 4(a^2+b^2)$$

Пусть : $%0 \le b \le a \le 1$%

$$(1+a+b)^2\ge (2a+b)^2 \ge 4(a^2+b^2)$$

$$\Leftrightarrow 4ab \ge 3b^2$$

Равенство при : $%(a=1, b=0)\ ,\ (a=0, b=1).$%

ссылка

отвечен 23 Апр '17 15:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%a\in[0;1]$%. Рассмотрим функцию $%f(b)=(b+a+1)^2-4(b^2+a^2)$% на отрезке $%b\in[0;1]$%. Графиком является парабола, у которой ветви направлены вниз. Поэтому наименьшее значение достигается на одном из концов отрезка. Достаточно проверить, что оба этих значения неотрицательны. Это действительно так, поскольку $%f(0)=(a+1)^2-4a^2=1+2a-3a^2=(1-a)(1+3a)\ge0$%, и $%f(1)=(a+2)^2-4(a^2+1)=4a-3a^2=a(4-3a)\ge0$%.

Можно дополнительно заметить, что неравенство превращается в равенство при $%a=1$%, $%b=0$%, а также при $%a=0$%, $%b=1$%.

ссылка

отвечен 23 Апр '17 15:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,699

задан
23 Апр '17 15:05

показан
411 раз

обновлен
23 Апр '17 15:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru