https://pp.userapi.com/c837635/v837635991/39ae5/WvVlzk_G5YQ.jpg Здесь просто подставить? И вместо dx брать d"ро" или d"фи" без разницы что именно?

задан 23 Апр '17 22:02

А как выглядело условие целиком? Боюсь, что это решается не подстановкой, а по-другому, но желательно знать оригинал условия.

(23 Апр '17 22:07) falcao

@falcao https://pp.userapi.com/c837635/v837635991/39aef/v5Xxw0ViAQs.jpg Вот, второй номер. Вроде все то же самое.

(23 Апр '17 22:15) Стас001

@Стас001: я на это сначала и подумал, но не был уверен. Это дело решается по-другому. Я сейчас попробую описать в ответе (в комментарий оно не уместится).

(23 Апр '17 22:51) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Сначала переходим к двойному (или тройному) интегралу, потом меняем координаты и делаем замену (фактически, полярную, так как ось $%Oz$% независима). Итак, пишем неравенства $%0\le x\le2$%, $%0\le y\sqrt{2x-x^2}$% из пределов интегрирования. Уравнение $%y=\sqrt{2x-x^2}$% даёт $%x^2+y^2-2x=0$%, то есть $%(x-1)^2+y^2=1$%. Всё вместе даёт полукруг с центром $%(1;0)$% радиусом $%1$%. Представлять себе область интегрирования важно, чтобы далее верно определить границы изменения угла и радиуса после перехода к полярным координатам.

Сразу видно, что угол в пределах точек рассматриваемой области меняется от $%0$% до $%\frac{\pi}2$% (от оси $%Ox$% до вертикальной касательной). Далее, неравенство, задающее область, удобно записать как $%x^2+y^2\le2x$%, и тогда после полярной замены оно превратится в $%r^2\le2r\cos\phi$%, то есть $%0\le r\le2\cos\phi$%.

"Внутренний" интеграл по $%z$% равен $%\frac{a^2}2$%, если вынести $%\sqrt{x^2+y^2}=r$%. Эту константу выносим за знак интеграла. Домножаем на якобиан полярной замены, и получается $%\frac{a^2}2\int\limits_0^{\pi/2}d\phi\int\limits_0^{2\cos\phi}r^2\,dr$%. Вычисления здесь простые: интеграл от косинуса в кубе находится легко (один косинус идёт под дифференциал, а квадрат выражаем через синус). В ответе, если не ошибаюсь, будет $%\frac89a^2$%.

ссылка

отвечен 23 Апр '17 23:04

@falcao @all_exist Спасибо вам. Теперь точно пойму.

(23 Апр '17 23:56) Стас001
10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут надо записать тройной интеграл и разобраться с границами... (хотя часть интеграла по переменной $%z$% совсем уж постоянная... и просто отделяется от всего остального)...

Область $$ D_{xyz}:\begin{cases} 0 \le x \le 2 \\ 0 \le y \le \sqrt{2x-x^2} \\ 0 \le z \le a \end{cases} $$ Уравнение $%y^2 = 2x-x^2$% описывает единичную окружность с центром в точке $%(1;0)$%... то есть второе неравенство описывает полукруг... первое неравенство ничего не отсекает... Итого, областью является половина кругового цилиндра...

Переходя к цилиндрическим координатам получаем следующее описание области $$ D_{r\varphi z}:\begin{cases} 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2} \\ 0 \le r \le 2\cos\varphi \\ 0 \le z \le a \end{cases} $$

Таким образом, $$ \int\limits_{0}^{2} dx \int\limits_{0}^{\sqrt{2x-x^2}} dy \int\limits_{0}^{a} z\;\sqrt{x^2+y^2}\;d z = \iiint\limits_{D_{xyz}} z\;\sqrt{x^2+y^2}\;dx\,dy\,dz = $$ $$ =\iiint\limits_{D_{r\varphi z}} z\;r^2\;dr\,d\varphi\,dz = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \int\limits_{0}^{2\cos\varphi} dr \int\limits_{0}^{a} z\;r^2\;d z
$$

ссылка

отвечен 23 Апр '17 22:57

изменен 23 Апр '17 23:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265

задан
23 Апр '17 22:02

показан
374 раза

обновлен
23 Апр '17 23:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru