$$f(f(x)) - f(f(y)) = (x^2 - f(y))(y^2 + f(x))$$

Нужно найти все действительные функции, удовлетворяющие этому при условии, что x и y -действительные числа.

задан 15 Янв '13 21:52

изменен 16 Янв '13 10:55

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
4

Здесь есть некоторая тонкость. Дело в том, что в условии не сказано, что функция обязана быть непрерывной. Поэтому априори допустима такая вещь, что при каких-то отдельных $%x$% может выполняться равенство $%f(x)=x^2$%, а при каких-то других значениях может оказаться, что $%f(x)=-x^2$%. Таким образом, надо позаботиться о возможных "смешанных" решениях.

Рассуждать можно так. Прежде всего, уже установлено, что при всех $%x$% значение функции равно $%x^2$% или $%-x^2$%, откуда ясно, что $%f(0)=0$%. Полагая $%y=0$% в основном уравнении, мы видим, что $%f(f(x))=x^2f(x)$% для всех $%x$%. Это значит, что основное уравнение можно переписать в таком виде:

$% x^2f(x)-y^2f(y)=(x^2-f(y))(y^2+f(x)). $%

Предположим теперь, что искомая функция не равна тождественно (то есть при всех $%x$%) ни $%-x^2$%, ни $%x^2$%. Первое условие означает, что найдётся такое $%x_0$%, при котором $%f(x_0)\neq-x_0^2$%, откуда $%f(x_0)=x_0^2$%, и вдобавок $%x_0\neq0$%. Аналогично, из второго условия находим некоторое $%y_0\neq0$%, для которого $%f(y_0)=-y_0^2$%.

Подставляя теперь значения $%x=x_0$% и $%y=y_0$% в полученное выше тождество, мы получим

$% x_0^4+y_0^4=(x_0^2+y_0^2)^2, $%

что после упрощений даёт $%x_0y_0=0$%, но это невозможно. Тем самым доказано, что никаких других решений кроме $%f(x)=x^2$% и $%f(x)=-x^2$%, не имеется.

ссылка

отвечен 17 Янв '13 14:25

изменен 17 Янв '13 19:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

Подставим $%y=x$%: $$f\big(f(x)\big) - f\big(f(x)\big) = \left(x^2 - f(x)\right)\left(x^2 + f(x)\right)$$ $$\left(x^2 - f(x)\right)\left(x^2 + f(x)\right)=0$$ $$f(x)=\pm x^2$$ Проверим $%f(x)=x^2$%: $$x^4-y^4=(x^2-y^2)(y^2+x^2)$$ Верно, решение подходит.
Проверим $%f(x)=-x^2$%: $$-x^4+y^4=(x^2+y^2)(y^2-x^2)$$ Верно, решение подходит.
Ответ: $%f(x)=\pm x^2$%.

ссылка

отвечен 15 Янв '13 22:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×654

задан
15 Янв '13 21:52

показан
1210 раз

обновлен
17 Янв '13 19:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru