F поле F⊂F'

F(α) , α∈F'

F(α) конечно порожденная алгебра над F

(F(α) : F) < ∞

задан 24 Апр '17 20:37

10|600 символов нужно символов осталось
1

Условие желательно излагать подробнее, указывая, что дано, и что требуется доказать. В данном случае всё понятно, а в другом может получиться очередной "ребус".

Для элемента $%\alpha$% возможно два случая: он или алгебраичен над $%F$%, или нет. В первом случае получается простое алгебраическое расширение, и его степень равна степени присоединяемого алгебраического элемента. То есть она конечна.

Теперь пусть элемент $%\alpha$% трасцендентен над $%F$%. В этом случае размерность уже бесконечна, так как все степени элемента линейно независимы над $%F$%. Поле $%F(\alpha)$% в этом случае изоморфно полю рациональных функций над $%F$%. Докажем, что эта алгебра не конечно порождена.

Для начала надо заметить, что над любым полем существуют бесконечно много неприводимых над ним многочленов со старшим коэффициентом 1. Для бесконечного поля это ясно сразу, так как можно взять все многочлены первой степени. В общем же случае это доказывается по аналогии с доказательством Евклида бесконечности ряда простых чисел. Действительно, если $%f_1(x)$%, ... , $%f_m(x)$% -- полный список всех неприводимых многочленов, то рассматриваем многочлен $%f_1(x)...f_m(x)+1$%. Получается противоречие, так как у него нет неприводимых делителей.

Теперь возьмём конечное число рациональных функций $%P_1(x)/Q_1(x)$%, ... , $%P_n(x)/Q_n(x)$% и породим ими подалгебру. Суммы и произведения таких многочленов имеют вид $%P(x)/Q(x)$% в несократимой форме, где у знаменателей не может появиться новых неприводимых сомножителей. Поэтому заведомо есть рациональные функции вида $%1/f(x)$%, где $%f(x)$% неприводим, которые порождаемой подалгебре не принадлежат. Значит, вся алгебра рациональных функций не конечно порождена над $%F$%, вопреки условию.

ссылка

отвечен 25 Апр '17 0:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
24 Апр '17 20:37

показан
718 раз

обновлен
25 Апр '17 0:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru