Программирую "сумму ряда" и столкнулся с тем, что надо найти сумму ряда с бесконечным количеством членов. Существует ли какой-нибудь признак расходимости ряда, чтобы я сразу определил что он расходится и не было сильной мороки с большими числами? Или можно как-нибудь приближённо вычислить определённый интеграл с бесконечными границами?

задан 24 Апр '17 20:46

изменен 24 Апр '17 20:58

а как будете определять расходимость?... на глаз или машинными методами?...

(24 Апр '17 21:35) all_exist

@ListMt: а что должна делать программа? С какими рядами она должна уметь работать? Ведь какого-то универсального признака сходимости не имеется.

Если нужны примеры заведомо расходящихся рядов, то их очень много. Например, если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится. Или можно взять гармонический ряд 1+1/2+...+1/n+... . Здесь общий член к нулю стремится, но ряд расходится.

(24 Апр '17 21:52) falcao

@all_exist машинными методами

(24 Апр '17 21:53) ListMt

@falcao если я буду использовать интегральный признак Коши и формулу Симпсона для приближённого вычисления интеграла, вместо бесконечности подставляя очень большое число, то я смогу определить расходится ряд или нет?

(24 Апр '17 21:55) ListMt

@falcao программа должна работать с любыми рядами и вычислять сумму ряда

(24 Апр '17 21:56) ListMt

@falcao я хочу сначала определить сходится ряд или расходится, чтобы не было такой мороки как например с рядом 1/x который очень медленно расходится, а потом если сходится то приближённо вычислять в цикле эту сумму

(24 Апр '17 21:58) ListMt

@ListMt: если это численные методы, то тут наверняка ничего определить нельзя -- только эмпирически. Строго говоря, исследовать любые ряды не может ни одна программа. Возьмите более простую задачу нахождения предела последовательности. Ясно, что там мы только "на глазок" можем о чём-то судить. Для медленно сходящихся рядов есть признаки типа интегрального, которые обычно сочетают с признаком подобия. Например, если взять 1/((n+3)ln(2n+1)), то этот ряд подобен 1/(n ln n), а он расходится. Но это всё относится к изученным типам рядов. Непонятно, как машина может распознавать такие тонкости.

(24 Апр '17 22:12) falcao

@falcao а существуют-ли какие-нибудь приближённые методы вычисления несобственного интеграла?

(24 Апр '17 22:25) ListMt

@falcao я имею ввиду что-то наподобии метода Трапеций или формулы Симпсона, только для несобственных

(24 Апр '17 22:31) ListMt

@ListMt: несобственный интеграл -- это почти ряд. Вычисляем мы или аналитически, если формула хорошая, или численно. Но во втором случае возникает та же проблема. Рассмотрим два ряда: 1/(n ln n ln ln n) и 1/(n ln n (ln ln n)^2). Первый расходится, второй сходится. Как программа это отличит? Разница там ничтожная (можно третью итерацию добавить). К тому же выражение можно "испортить", домножив на что-то, стремящееся к 1. И как потом программа это распознает? По частичным суммам -- никак. Не говоря о том, что переход к интегралам не всегда возможен (нужно знакопостоянство и монотонность).

(24 Апр '17 22:39) falcao

@falcao понял, спасибо

(24 Апр '17 23:01) ListMt
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
24 Апр '17 20:46

показан
277 раз

обновлен
24 Апр '17 23:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru