|
Найти все значения a, при которых уравнение (4x-x^2)^2-32(4x-x^2)^(1/2)-a^2+14a=0 имеет хотя бы одно решение задан 25 Апр '17 9:22 
Ghosttown |
|
Положим $%t=\sqrt{4x-x^2}=\sqrt{4-(x-2)^2}$%. Ясно, что $%t\in[0;2]$%, и все такие значения принимаются. Поэтому достаточно выяснить, при каких $%a$% у уравнения $%t^4-32t-a^2+14a=0$% имеется корень на этом отрезке. Функция $%t^4-32t$% принимает на концах отрезка значения $%0$% и $%-48$% соответственно. Её производная равна $%4(t^3-8)\le0$%, откуда понятно, что первое значение будет наибольшим, а второе наименьшим. Значит, достаточно решить неравенство $%a^2-14a\in[-48;0]$%. Оно равносильно $%(a-7)^2\in[1;49]$%, то есть $%|a-7|\in[1;7]$%. Раскрывая модули, имеем $%a-7\in[-7;-1]\cup[1;7]$%, то есть $%a\in[0;6]\cup[8;14]$%. отвечен 25 Апр '17 9:47 
falcao |