Найти все значения a, при которых уравнение (4x-x^2)^2-32(4x-x^2)^(1/2)-a^2+14a=0 имеет хотя бы одно решение

задан 25 Апр '17 9:22

10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим $%t=\sqrt{4x-x^2}=\sqrt{4-(x-2)^2}$%. Ясно, что $%t\in[0;2]$%, и все такие значения принимаются. Поэтому достаточно выяснить, при каких $%a$% у уравнения $%t^4-32t-a^2+14a=0$% имеется корень на этом отрезке.

Функция $%t^4-32t$% принимает на концах отрезка значения $%0$% и $%-48$% соответственно. Её производная равна $%4(t^3-8)\le0$%, откуда понятно, что первое значение будет наибольшим, а второе наименьшим. Значит, достаточно решить неравенство $%a^2-14a\in[-48;0]$%. Оно равносильно $%(a-7)^2\in[1;49]$%, то есть $%|a-7|\in[1;7]$%. Раскрывая модули, имеем $%a-7\in[-7;-1]\cup[1;7]$%, то есть $%a\in[0;6]\cup[8;14]$%.

ссылка

отвечен 25 Апр '17 9:47

@falcao, a почему t€[0;2], разве не [0;4]?

(25 Апр '17 14:14) epimkin

@epimkin: тут всё правильно. Это х принимает значения от 0 до 4, и подкоренное выражение. А после извлечения корня получается t от 0 до 2.

(25 Апр '17 15:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×516
×251
×55

задан
25 Апр '17 9:22

показан
1191 раз

обновлен
25 Апр '17 15:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru