Оператор $% A \in L_2[0,1], (Ax)(t)=tx(t)$%. Доказать, что спектр оператора $%A$% есть $%[0,1]$%

задан 25 Апр '17 12:48

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%\lambda\in[0;1]$%. Положим $%y=(A-\lambda I)x$%. Это значит, что $%y(t)=(t-\lambda)x(t)$%, то есть для обратного оператора, если он существует, должно быть $%x(t)=\frac{y(t)}{t-\lambda}$% почти всюду. Функция $%y(t)=1$% принадлежит $%L^2[0;1]$%, однако прообраза в этом пространстве она не имеет, так как несобственный интеграл $%\int_0^1\frac{dt}{(t-\lambda)^2}$% расходится.

Теперь пусть $%\lambda\notin[0;1]$%. При $%\lambda > 1$% имеет место неравенство $%\frac1{|t-\lambda|}\le\frac1{\lambda-1}$% на отрезке, поэтому обратный оператор ограничен, и его норма не превосходит указанного числа: $%\|(A-\lambda I)^{-1}\|\le\frac1{\lambda-1}$%. В случае $%\lambda < 0$% аналогично имеем $%|t-\lambda|\ge-\lambda$%, и $%\|(A-\lambda I)^{-1}\|\le-\frac1{\lambda}$%.

ссылка

отвечен 25 Апр '17 19:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×63
×13
×10

задан
25 Апр '17 12:48

показан
426 раз

обновлен
25 Апр '17 19:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru