2
1

Высота АН, биссектриса BL и медиана СМ разбивают треугольник ABC на 7 частей. Может ли получиться так, что с одной стороны от какой-то их этих прямых все части имеют одну площадь, а с другой стороны - другую, но тоже одинаковую

задан 25 Апр '17 14:55

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть одна из трёх прямых обладает указанным свойством. По одну сторону от неё будут три части площадью x, по другую -- 4 части площадью y. Рассмотрим любую из двух оставшихся прямых. По одну и по другую сторону от неё будут две части y, а три части x разделятся не поровну (по одну сторону x, по другую 2x). Значит, никакая из оставшихся прямых не может быть медианой. Далее считаем, что именно медиана CM обладает свойством, описанным в начале.

Рассмотрим два случая. Для начала пусть вершина B расположена в пределах треугольника, разбитого на 4 части площадью y. Тогда она делит этот треугольник на две части равной площади. Поэтому он равнобедренный: BM=BC. Отсюда BA:BC=2:1, а это значит, что биссектриса делит весь треугольник на части, у которых отношение площадей именно такое. Но это не так, поскольку у большей из частей площадь равна 2x+2y, а у меньшей она равна x+2y, то есть отношение строго меньше 2.

Теперь пусть B расположена в пределах другого треугольника. Она делит его на части площади x и 2x. По свойству биссектрисы, BM:BC=1:2, откуда BC=BA, то есть треугольник равнобедренный. Тогда BL -- медиана, и делит треугольник на части равной площади, но это не так, поскольку площадь одной части равна 2x+2y, а другой x+2y.

Таким образом, ответ отрицательный. Специфика того, что AH -- высота, нигде не использовалась.

ссылка

отвечен 25 Апр '17 22:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
25 Апр '17 14:55

показан
690 раз

обновлен
25 Апр '17 22:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru