Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение |x^2-2ax+7|=|6a-x^2-2x-1| имеет более двух корней

задан 25 Апр '17 17:08

10|600 символов нужно символов осталось
1

Условие вида $%|u|=|v|$% равносильно совокупности двух условий $%u=v$% и $%u=-v$%. Здесь мы получим квадратное уравнение $%2x^2-2(a-1)x+8-6a=0$% и уравнение $%(a+1)x=3(a+1)$%. Сразу можно заметить, что при $%a=-1$% решений бесконечно много, то есть такое значение параметра подходит. При $%a\ne-1$% второе условие даёт $%x=3$%. Чтобы корней было более двух, необходимо, чтобы квадратное уравнение имело два различных корня, ни один из которых не равен трём. Последнее условие означает, что $%18-6(a-1)+8-6a=32-12a\ne0$%, то есть $%a\ne\frac83$%. При этом дискриминант обязан быть положительным, откуда $%D/4=(a-1)^2+4(3a-4)=a^2+10a-15 > 0$%. Получается $%(a+5)^2 > 40$%, то есть $%a > 2\sqrt{10}-5$% или $%a < -2\sqrt{10}-5$%. Теперь удаляем значение $%a=\frac83$%, добавляем $%a=-1$%, и имеем ответ $%a\in(-\infty;-2\sqrt{10}-5)\cup\{-1\}\cup(2\sqrt{10}-5;\frac83)\cup(\frac83;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 25 Апр '17 18:39

Спасибо! Вопрос: почему при раскрытии модулей в самом начале опускается условия их раскрытия? Т.е. разве не обязательно к каждому из проучившихся уравнений приписываться условие, на котором оно выполняемся: произведение подмодульных выражений больше или меньше либо равно нулю соотвественно?

(25 Апр '17 19:55) Ghosttown
1

Здесь необязательно : обе части уравнения положительны, поэтому можно их возвести в квадрат, перенести в одну сторону и разложить как разность квадратов- получатся как раз два уравнения, которые в решении

(25 Апр '17 20:00) epimkin

Благодарю покорно

(25 Апр '17 20:06) Ghosttown
1

@Ghosttown: у меня в начале дано общее утверждение. Оно легко проверятся в обе стороны. Если u=v, то |u|=|v|. Если u=-v, то |u+|-v|=|v| по свойствам модуля. Обратно: мы знаем, что если модуль числа чему-то равен, то само число равно или этому же числу, или противоположному. Значит, если модуль u равен |v|, то само u равно |v| или -|v|, то есть равно +-v. По поводу произведения подмодульных выражений -- я этой мысли не понял. Для меня это звучит странно -- типа, а почему семимерный интеграл не посчитали? :) Я во всех случаях стараюсь мыслить как можно проще, на уровне третьеклассника.

(25 Апр '17 20:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×516

задан
25 Апр '17 17:08

показан
535 раз

обновлен
25 Апр '17 20:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru