Не понимаю по каким формулам их находить:

  1. $%y = {\arctan ^3}\ln \frac{{\sqrt x }}{{x + 2}}$%;
  2. $%y = \sqrt[5]{{{{\sin }^4}\left( {\frac{{x - 3}}{x}} \right)}}$%;
  3. $%y = {2^{{{\tan }^7}\left( {\frac{{{x^2} + 4}}{{\sqrt x }}} \right)}}$%;
  4. $%y = {\log _3}\arcsin \left( {\frac{{\sqrt x }}{{x - 5}}} \right)$%.

Решение №1:

$%\begin{gathered} y' = 3{\arctan ^2}\ln \frac{{\sqrt x }}{{x + 2}} \times \frac{1}{{1 + {{\left( {\ln \frac{{\sqrt x }}{{x + 2}}} \right)}^2}}} \times {\left( {\ln \frac{{\sqrt x }}{{x + 2}}} \right)^\prime } = \hfill \\ = 3{\arctan ^2}\ln \frac{{\sqrt x }}{{x + 2}} \times \frac{1}{{1 + {{\left( {\ln \frac{{\sqrt x }}{{x + 2}}} \right)}^2}}} \times \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} \times \frac{{\left( {\frac{{x + 2}}{{2\sqrt x }} - \sqrt x } \right)}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \hfill \\ = 3{\arctan ^2}\ln \frac{{\sqrt x }}{{x + 2}} \times \frac{1}{{1 + {{\left( {\ln \frac{{\sqrt x }}{{x + 2}}} \right)}^2}}} \times \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} \times \frac{{\left( {\frac{{x + 2 - 2x}}{{2\sqrt x }}} \right)}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \hfill \\ = 3{\arctan ^2}\ln \frac{{\sqrt x }}{{x + 2}} \times \frac{1}{{1 + {{\left( {\ln \frac{{\sqrt x }}{{x + 2}}} \right)}^2}}} \times \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} \times \frac{{2 - x}}{{2\sqrt x {{(x + 2)}^2}}} = \hfill \\ = 3{\arctan ^2}\ln \frac{{\sqrt x }}{{x + 2}} \times \frac{1}{{1 + {{\left( {\ln \frac{{\sqrt x }}{{x + 2}}} \right)}^2}}} \times \frac{{2 - x}}{{2x(x + 2)}}. \hfill \\ \end{gathered}$%

задан 25 Апр '17 17:32

изменен 26 Апр '17 16:24

Здесь нужно использовать самые обычные правила, включая прежде всего формулу для производной сложной функции. Скажем, в первом случае это правило даст 3arctan^2(...)(ln(...)/(...))'. Производная логарифма будет равна ((x+2)/sqrt(x))*(sqrt(x)/(x+2))', и дальше применяем формулу производной частного. Тут ничего неожиданного или необычного нет, а ответы будут громоздкие, но так и было задумано.

Во втором случае функцию удобно представить как (sin(...))^{4/5}, то есть сначала дифференцируем степенную функцию, потом синус, а потом то, что под синусом. По правилу, всё это перемножается.

(25 Апр '17 18:44) falcao

@falcao, спасибо, а я думала по такому правилу можно находить производные, только тогда, когда функция задается в виде многочлена различной степени. Решила первый номер, можете посмотреть верно ли и можно ли еще упростить выражение?

(25 Апр '17 23:19) ASDMomentum

@ASDMomentum: формула (f(g(x))'=f'(g(x))g'(x) есть во всех учебниках. Её нужно знать. Она применима для любых дифференцируемых функций.

У Вас пропал множитель 3, а второй и третий сомножитель получены по совершенно непонятным правилам. При дифференцировании логарифма получается "перевёрнутая" дробь. Частное продифференцировано не по правилу. См. формулу (u/v)'=(u'v-uv')/v^2 в учебнике.

(25 Апр '17 23:47) falcao

@falcao, в моих записях производная от натурального логарифма находится так $%{\left( {\ln (u)} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{u}$%, именно благодаря этому и появляется второй сомножитель, множитель три , я его внесла в скобку, что касается логарифма частного, то тут соглашусь, я не права, так как находила логарифм произведения. исправила, теперь верно? Не смотрите ни чего, поняла свои ошибки, сейчас допишу до конца. Теперь все, это мой окончательный ответ.

(25 Апр '17 23:52) ASDMomentum

@ASDMomentum: для логарифма всё так и есть, но это ровно то, про что я говорил. Можно сначала написать 1/u, а потом умножить на u'. Но u -- это дробь, поэтому обратная равна перевёрнутой.

Сейчас всё найдено верно, но в конце надо было сократить x+2 в числителе и знаменателе. То есть итоговый ответ должен выглядеть чуточку проще.

Есть ещё момент "эстетический": в процессе решения приходится много раз переписывать одно и то же. Обычно именно так и оформляют, то есть это исправлять не надо. Но я люблю "минималистские" способы изложения, то есть сам бы оформлял всё несколько попроще.

(26 Апр '17 0:28) falcao

@ASDMomentum: я только сейчас заметил, что не был продифференцирован арктангенс. После первого сомножителя надо добавить ещё один.

(26 Апр '17 2:01) falcao

@falcao, сейчас не понимаю, я же сделала как вы написали "3arctan^2(...)(ln(...)/(...))'", разве не так?

(26 Апр '17 13:54) ASDMomentum

@ASDMomentum: да, Вы сделали так, но я обратил внимание на то, что я сам забыл про арктангенс. А на него надо домножить, следуя тем же принципам.

(26 Апр '17 14:22) falcao

@ASDMomentum: посмотрите, чему равна производная арктангенса. И усвойте основной принцип -- что и в какой момент надо домножать. Грубо говоря, после 3arctan^2(...) должен появится множитель arctan'(...). А потом всё то, что было раньше.

(26 Апр '17 15:42) falcao

@falcao, до конца все равно не поняла, исправила, теперь верно?

(26 Апр '17 16:25) ASDMomentum

@ASDMomentum: а вот на то, чтобы понять до конца, времени как раз не надо жалеть. А то потом по поводу недопонятого появятся новые вопросы. Сейчас Вы добавили производную арктангенса, то есть сделали то, что нужно. Но решать надо с уверенностью и пониманием -- даже если неправильно. Мелкие ошибки всегда можно потом исправить. Важно не делать ошибок принципиальных, а самое главное -- пользоваться легальными правилами и ничего не придумывать.

(26 Апр '17 19:11) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×39

задан
25 Апр '17 17:32

показан
377 раз

обновлен
26 Апр '17 19:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru