Дан тетраэдр XYZW, все грани которого - равносторонние треугольники. Известно, что ZL перпендикулярно XW, точка H находится на одинаковом расстоянии от X И Z, также она находится на одинаковом (но другом, равном а) расстоянии от Y и W. Также прямая HW перпендикулярна ZL. Найти объем тетраэдра.

задан 26 Апр '17 2:30

изменен 26 Апр '17 3:17

10|600 символов нужно символов осталось
2

Точки, равноудалённые от двух данных, лежат на плоскости, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна этому отрезку... таким образом, точка $%H$% - лежит на пересечении двух плоскостей, которое является прямой $%FG$%, соединяющей середины рёбер $%XZ$% и $%YW$%...

В принципе дальше можно было применить метод координат... но захотелось геометрического решения...

Известно, что любой тетраэдр можно разместить в параллелепипеде, в котором скрещивающиеся рёбра тетраэдра будут диагоналями противоположных рёбер... При этом объём параллелепипеда равен трём объёмам тетраэдра...

В данном случае тетраэдр размещается в кубе... Пусть ребро куба равно $%2x$%... тогда объём тетраэдра равен $%\frac{8x^3}{3}$% ...

(дальше смотрим по рисунку)

alt text

Пусть $%L\in XW$% ... постоим сечение куба, которое перпендикулярно $%ZL$% и проходит через $%W$%... понятно, что такое сечение будет проходить через $%XW$%...
Рассматривая плоскость $%ZYL$% (диагональное сечение куба, содержащее $%ZL$%), найдём точку $%K$% на ребре куба, для которой $%LK\perp ZL$%... оказывается, что $%K$% - середина ребра... Итого, $%XWK$% - искомое сечение...

Дальше находим пересечение плоскости $%XWK$% и прямой $%FG$%, что будет точкой $%H$%... Затем немного арифметики и выразим расстояние $%WH=a$% через $%x$%...

Ну, как-то так...

ссылка

отвечен 26 Апр '17 23:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×518

задан
26 Апр '17 2:30

показан
430 раз

обновлен
26 Апр '17 23:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru