стереометрия - Геометрическая задача

Точки, равноудалённые от двух данных, лежат на плоскости, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна этому отрезку... таким образом, точка $%H$% - лежит на пересечении двух плоскостей, которое является прямой $%FG$%, соединяющей середины рёбер $%XZ$% и $%YW$%...

В принципе дальше можно было применить метод координат... но захотелось геометрического решения...

Известно, что любой тетраэдр можно разместить в параллелепипеде, в котором скрещивающиеся рёбра тетраэдра будут диагоналями противоположных рёбер... При этом объём параллелепипеда равен трём объёмам тетраэдра...

В данном случае тетраэдр размещается в кубе... Пусть ребро куба равно $%2x$%... тогда объём тетраэдра равен $%\frac{8x^3}{3}$% ...

(дальше смотрим по рисунку)

Пусть $%L\in XW$% ... постоим сечение куба, которое перпендикулярно $%ZL$% и проходит через $%W$%... понятно, что такое сечение будет проходить через $%XW$%...
Рассматривая плоскость $%ZYL$% (диагональное сечение куба, содержащее $%ZL$%), найдём точку $%K$% на ребре куба, для которой $%LK\perp ZL$%... оказывается, что $%K$% - середина ребра... Итого, $%XWK$% - искомое сечение...

Дальше находим пересечение плоскости $%XWK$% и прямой $%FG$%, что будет точкой $%H$%... Затем немного арифметики и выразим расстояние $%WH=a$% через $%x$%...

Ну, как-то так...