1
1

Докажите, что число 6n^3 + 3 не является точной шестой степенью натурального числа.

задан 26 Апр '17 8:45

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим уравнение: $$6n^3+3=a^6$$. Шестая степень натурального числа дает только остатки 0, 1, 3, 4 при делении на 6. А левая часть уравнения дает остаток 3 при делении на 6. Значит правая часть - вида $%(6k+3)^6$%. Сократим все на 3: $$2n^3+1=3^5(2k+1)^6$$ Левая часть нового уравнения дает остатки 1, 3 и 8 при делении на 9, тогда как правая кратна 9.

ссылка

отвечен 26 Апр '17 16:03

изменен 26 Апр '17 16:07

@falcao, сейчас верно? Спасибо, что поправили.

(26 Апр '17 16:11) make78
1

@make78: да, сейчас верно. Только делимость на 6 можно было не привлекать. Достаточно заметить, что куб числа при делении на 9 даёт в остатке 0, 1 или 8. Отсюда следует более сильный факт, что правая часть не является кубом -- так как делится на 3, но не делится на 27.

(26 Апр '17 18:38) falcao

@falcao, да, правда.

(27 Апр '17 1:13) make78

@falcao а почему на 27 не делится?

(27 Апр '17 12:05) fsdSSSS
1

@fsdSSSS: мы знаем, что n^3=9q+r, где r=0,1,8. Тогда 6n^3+3=27(2q)+6r+3. Число 6r+3 принимает значения 3,9,51, ни одно из которых не делится на 27.

Здесь нетрудно было догадаться, исходя из того, что множитель 6 кратен 3, и тогда остатки от деления n^3 на 9, которые были названы, однозначно определяют остатки от деления 6n^3+3 на 27.

(27 Апр '17 12:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Кубы целых чисел дают остатки 0, 1 и -1 (он же 6) при делении на 7, а других остатков не дают. Шестая степень - это ведь тоже в некотором смысле очень даже куб. Так что в правой части у нас остаток 0, 1 или -1 (он же 6) при делении на 7. В левой же его не получится, ибо получится либо 3, либо 2, либо 4 (он же -3). Танаааааам!

ссылка

отвечен 27 Апр '17 10:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709

задан
26 Апр '17 8:45

показан
886 раз

обновлен
27 Апр '17 12:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru