|
Докажите, что число 6n^3 + 3 не является точной шестой степенью натурального числа. задан 26 Апр '17 8:45 
fsdSSSS |
|
Рассмотрим уравнение: $$6n^3+3=a^6$$. Шестая степень натурального числа дает только остатки 0, 1, 3, 4 при делении на 6. А левая часть уравнения дает остаток 3 при делении на 6. Значит правая часть - вида $%(6k+3)^6$%. Сократим все на 3: $$2n^3+1=3^5(2k+1)^6$$ Левая часть нового уравнения дает остатки 1, 3 и 8 при делении на 9, тогда как правая кратна 9. отвечен 26 Апр '17 16:03 
make78 1
@make78: да, сейчас верно. Только делимость на 6 можно было не привлекать. Достаточно заметить, что куб числа при делении на 9 даёт в остатке 0, 1 или 8. Отсюда следует более сильный факт, что правая часть не является кубом -- так как делится на 3, но не делится на 27.
(26 Апр '17 18:38)
falcao
1
@fsdSSSS: мы знаем, что n^3=9q+r, где r=0,1,8. Тогда 6n^3+3=27(2q)+6r+3. Число 6r+3 принимает значения 3,9,51, ни одно из которых не делится на 27. Здесь нетрудно было догадаться, исходя из того, что множитель 6 кратен 3, и тогда остатки от деления n^3 на 9, которые были названы, однозначно определяют остатки от деления 6n^3+3 на 27.
(27 Апр '17 12:54)
falcao
|
|
Кубы целых чисел дают остатки 0, 1 и -1 (он же 6) при делении на 7, а других остатков не дают. Шестая степень - это ведь тоже в некотором смысле очень даже куб. Так что в правой части у нас остаток 0, 1 или -1 (он же 6) при делении на 7. В левой же его не получится, ибо получится либо 3, либо 2, либо 4 (он же -3). Танаааааам! отвечен 27 Апр '17 10:45 
Аллочка Шакед |