Докажите, что при любом натуральном n сумма цифр числа 1981^n не меньше 19.

Пытался через мат. индукцию, но не получилось) нужно как-то через делимость, наверное.

задан 26 Апр '17 9:45

10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь нужно задействовать признаки делимости на 9 и на 11. Основой служит то, что 1981-1=1980 делится на 99, то есть на 9 и на 11. Отсюда следует, что 1981^n-1 также делится на 9 и на 11. У числа и у суммы цифр остаток от деления на 9 тот же самый. Здесь это 1, поэтому сумма цифр теоретически может быть равна 1, 10, 19, 28, ... . В нашем случае сумма цифр 1 невозможна, так как число не равно степени 10. Достаточно показать, что сумма цифр не равна 10, и это делается через признак делимости на 11.

Число 1981^n оканчивается на 1. Вычтем из него 1. Тогда, если сумма цифр была равна 10, то она станет равной 9. Но число с такой суммой цифр не может делиться на 11. Действительно, если сумма цифр на чётных местах равна x, то сумма цифр на нечётных местах равна 9-x. Разность того и другого должна делиться на 11 по признаку. Но эта разность равна x-(9-x)=2x-9, где 0<=x<=9. Разность нечётна, то есть нулю не равна, и она находится в пределах от -9 до 9, то есть на 11 не делится.

ссылка

отвечен 26 Апр '17 12:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,711

задан
26 Апр '17 9:45

показан
2939 раз

обновлен
26 Апр '17 12:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru