|
В круг вписан треугольник ABC, в котором AB = BC, угол ABC равен α. Из точки А проведена медиана к стороне BC, пересекающая BC в точке D, а окружность - в точке Е. Найдите отношение площади треугольника ABE к площади треугольника BDE. В четырехугольнике ABCD имеем AB = BC, AC = CD, угол ACB равен углу ACD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC и ACD, относятся как 3:4. Найдите отношение площадей этих треугольников. 4 часа на них убил, по большей части на вторую. Как вообще научиться видеть решение? задан 26 Апр '17 15:03 
fsdSSSS |
|
Первая. Обозначим AB=BC=2x. Тогда BD=DC=х. В треугольнике ABC можно выразить медиану AD через x и $%\alpha$% (так как все углы и стороны известны). BD$%\cdot$%DC=AD$%\cdot$%DE, откуда DE выражается через x. Угол BEA равен углу BCA и равен $%\frac{\pi-\alpha}{2}$%. Дальше пишем искомые площади через две стороны и угол между ними. отвечен 26 Апр '17 15:13 
make78 |
|
Для краткости писанины обозначу $%c=\cos \alpha$%, $%s=\sin\alpha$%
Пусть $%AB=BC=1$%, тогда $%AC=CD=2c$%... при этом $$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2c \cdot s= sc, \quad S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot (2c)^2 \cdot s = 2sc^2, $$ Как известно, площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на половину периметра... Тогда $$ \frac{S_{ACD}}{S_{ABC}}=2c = \frac{r_1\cdot P_1}{r_2\cdot P_2} =\frac{4\cdot P_1}{3\cdot P_2} = \frac{4\cdot \Big(4c+4c\cdot\cos\frac{\alpha}{2}\Big)}{3\cdot(2+2c)} $$ $$ 3\cdot(1+c) = 4\cdot \left(1+\cos\frac{\alpha}{2}\right) $$ отвечен 5 Май '17 10:05 
all_exist |
в №2 можно считать, что $%AB=1$%, $%\angle ACB = \alpha$%... выразить площади и периметры... из соотношения радиусов получить уравнение на угол...
@all_exist а у меня не получилось, можете расписать?(