Можно ли числа от 1 до 1999 разбить на несколько групп таким образом, чтобы в каждой группе сумма двух наибольших чисел в 9 раз превосходила сумму оставшихся? (К. Кохась)

Думаю, что нельзя. Сумма двух наибольших чисел в группе будет в любом случае меньше 4000, так как все числа меньше 2000. А это означает, что сумма остальных чисел в группе будет меньше 500. Следовательно, каждое из чисел от 500 до 1999 должно быть одним из двух наибольших в какой-то из групп разбиения. Таким образом, групп разбиения должно быть не меньше 750, поскольку полторы тысячи чисел в меньшее количество групп по две штуки раскидать проблематично. Но тогда чисел, которые должны выполнять роль "оставшихся" не хватит на все группы, ведь натуральных чисел, меньших 500, не больше 500, а групп у нас не менее 750, кук уже упоминалось.

а) Верно ли моё решение (критика очень даже приветствуется!)?

б) Если заменить 1999 на натуральное число $%n$%, то при каких $%n$% ответ на задачу будет положительным, а при каких - отрицательным?

Пожалуйста, помогите решить.

Зарангеш благодарю!

задан 27 Апр '17 10:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассуждение проходит с очень большим запасом, поэтому оно легко обобщается. Пусть чисел у нас n, и разбить их надо на группы, в каждой из которых сумма двух наибольших чисел в k раз превосходит сумму оставшихся, где k>=6. Тогда получается отрицательный ответ при помощи аналогичного рассмотрения. Два числа в сумме дают <2n; сумма оставшихся в группе <2n/k, то есть каждое из оставшихся в группе чисел <2n/k. Отсюда следует, что более чем n(1-2/k) чисел войдут в группы со статусом наибольших, и таких групп будет больше, чем n(1/2-1/k). Это количество не меньше 2n/k при k>=6, и получается противоречие.

Для k=5 уже имеется пример -- правда, тривиальный: 1 против 2+3.

ссылка

отвечен 27 Апр '17 12:51

@falcao, большое спасибо!

P. S. Почему-то мой компьютер подчёркивает Ваш никнейм красной чертой :(

(27 Апр '17 15:33) Аллочка Шакед

@Танюшка Мадр...: а должен бы вообще-то подчёркивать оранжевой, с чёрными полосочками! :)

(27 Апр '17 16:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,019
×673
×322
×206
×141

задан
27 Апр '17 10:52

показан
356 раз

обновлен
27 Апр '17 16:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru