Показать что совокупность групп у которых каждый элемент является квадратом замкнута относительно взятия фактор группы и полных прямых произведений но не является многообразием​.

задан 28 Апр '17 18:05

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если в группе $%G$% выполняется это свойство, и $%G/N$% -- факторгруппа по нормальной подгруппе, то для любого $%x\in G$% находим $%y\in G$% такое, что $%x=y^2$%. Тогда произвольный элемент факторгруппы является в ней квадратом: $%xN=y^2N=(yN)^2$%.

Теперь пусть дано декартово произведение $%G=\overline{\prod\limits_{i\in I}}G_i$% групп со свойством из условия. Его элементами являются функции $%f\colon I\to\bigcup\limits_{i\in I}G_i$% такие, что $%f(i)\in G_i$%. Можно для краткости записывать эти элементы в виде семейства $%(g_i)$%, где $%i$% пробегает $%I$%. Тогда в каждой группе $%G_i$% находим элемент $%h_i\in G_i$% такой, что $%g_i=h_i^2$%, и тогда рассматриваемый выше элемент будет квадратом элемента $%(h_i)$% декартова произведения.

Для того, чтобы класс групп являлся многообразием, кроме двух указанных свойств нужна ещё замкнутость относительно взятия подгрупп. Контрпример можно рассмотреть такой: пусть $%G$% -- группа положительных действительных чисел относительно сложения. В неё любой элемент является квадратом некоторого положительного числа. Рассмотрим циклическую подгруппу $%H$% с образующим $%x=2$%. Она состоит из всех чисел вида $%2^k$%, где $%k\in\mathbb Z$%. Все они рациональны, поэтому иррациональное число $%\sqrt2$% не принадлежит $%H$%. Тем самым, число $%2\in H$% не является квадратом в подгруппе $%H$%.

ссылка

отвечен 28 Апр '17 20:15

изменен 28 Апр '17 20:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×861
×63

задан
28 Апр '17 18:05

показан
382 раза

обновлен
28 Апр '17 20:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru