Показать что пересечение многообразий групп является многообразием групп ,показать что всякая не пустая совокупность групп содержится в минимальном многообразии групп, показать что минимальным многообразием содержащим бесконечную группу является многообразие абелевых групп

задан 28 Апр '17 21:07

10|600 символов нужно символов осталось
0

Первое утверждение очевидно. Оно прямо вытекает из определения. Есть несколько списков тождеств, задающих каждое из многообразий. Берём объединение этих списков тождеств. Группы, которые им всем удовлетворяют, образуют класс групп, который совпадает с пересечением многообразий. Самих многообразий при этом может быть сколько угодно.

Для произвольной непустой совокупности групп рассмотрим все многообразия, которые эту совокупность содержат. Такие многообразия всегда есть -- например, многообразие всех групп. Их пересечение есть многообразие, согласно предыдущему пункту. Оно и будет минимальным многообразием, содержащим данную совокупность.

Третье утверждение сформулировано неточно, потому что если группа неабелева, то она не содержится в многообразии абелевых групп. Поэтому в условии надо сказать, что группа $%G$% бесконечная циклическая (для случая бесконечной абелевой группы произвольного вида это может быть неверно). Тогда утверждение следует из известного факта, что в многообразии абелевых групп все собственные подмногообразия описываются дополнительным тождеством вида $%x^n=1$% для некоторого натурального $%n$%. Бесконечная циклическая группа ему не удовлетворяет, а потому не может принадлежать никакому меньшему многообразию.

Возможен второй способ рассуждения: всякая абелева группа является гомоморфным образом свободной абелевой, а последняя есть прямая степень бесконечной циклической группы. Поскольку многообразие замкнуто относительно прямых произведений и гомоморфных образов, все абелевы группы будут ему принадлежать.

ссылка

отвечен 28 Апр '17 21:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×861
×63

задан
28 Апр '17 21:07

показан
293 раза

обновлен
28 Апр '17 21:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru