alt text

задан 28 Апр '17 22:48

изменен 30 Апр '17 22:22

10|600 символов нужно символов осталось
2

Я пока что изложу решение второго пункта. Остальное добавлю позже. Возможно, тут есть и более короткое рассуждение, опирающиеся на какие-нибудь теоремы курса.

б) Рассмотрим произвольное $%\varepsilon > 0$% и оценим вероятность события $%|\xi_n\eta_n| < \varepsilon$%. Нужно доказать, что при любом $%\delta > 0$% она больше $%1-\delta$% для достаточно больших $%n$%.

Всякая функция распределения имеет не более чем счётное множество точек разрыва (так как "скачку" значений соответствует своя рациональная точка). Поэтому можно выбрать стремящуюся к бесконечности последовательность положительных чисел $%0 < x_1 < x_2 < \cdots$% такую, что точки вида $%\pm x_k$% являются точками непрерывности функции распределения $%F_{\xi}(x)$%.

Для случайной величины $%\xi$% и натурального числа $%k$% рассмотрим событие $%A_k=\{|\xi|\le x_k\}$%. Ясно, что $%A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots$% -- вложенная цепь событий, объединение которых равно полному событию. Поэтому вероятности $%P(A_k)$% стремятся к единице. Выберем такое $%k$%, для которого $%P(A_k) > 1 -\delta/3$%. Теперь применим тот факт, что $%\xi_n$% сходятся по распределению к $%\xi$%, откуда следует, что в точках непрерывности $%x$% функции $%F_{\xi}$% имеет место сходимости функций распределения $%F_{\xi_n}(x)$% к $%F_{\xi}(x)$%. Отсюда следует, что $%P(-x_k\le\xi_n\le x_k)$% стремится к $%P(-x_k\le\xi\le x_k)$% при $%n\to\infty$%. Рассматривая степень близости $%\delta/6$%, находим такое $%n_1$%, что при $%n\ge n_1$% имеет место неравенство $%P(|\xi_n|\le x_k) > 1-\delta/2$%.

Теперь используем тот факт, что $%\eta_n$% стремится к нулю по вероятности. Для положительного числа $%\frac{\varepsilon}{x_k}$% находим номер $%n_2$% такой, что при всех $%n\ge n_2$% вероятность события $%|\eta_n| < \frac{\varepsilon}{x_k}$% больше $%1-\delta/2$%. Отсюда получается, что вероятность события $%|\xi_n\eta_n| < \varepsilon$% больше $%1-\delta$% при $%n\ge\max(n_1,n_2)$%.

Пункт а) решается аналогично. Изложим краткую схему. Пусть $%x$% -- точка непрерывности функции $%F_{\xi}(x)$%. Как и выше, можно рассмотреть последовательность $%x_k$% точек непрерывности этой функции, сходящихся к $%x$% слева. Вероятность того, что $%\xi=x$%, равна нулю, поэтому $%P(\xi < x)=P(\xi\le x)=F_{\xi}(x)$%, а событие $%\xi < x$% можно представить в виде счётного объединения событий $%\xi\le x_k$%. При достаточно большом $%k$% вероятности событий $%\xi\le x_k$% и $%\xi\le x$% будут отличаться сколь угодно мало. Далее, $%F_{\xi_n}(x_k)$% стремится к $%F_{\xi}(x_k)$%, и при достаточно больших $%n$% эти числа друг от друга также отличаются сколь угодно мало. Также можно выбрать достаточно большое $%n$%, при котором вероятность события $%|\eta_n| < x-x_k$% будет сколь угодно близка к 1. Тогда вероятность события $%\xi_n+\eta_n\le x$% будет мало отличаться от $%F_{\xi}(x)$% в виде оценки снизу. Аналогичную оценку сверху можно получить, выбирая последовательность точек непрерывности функции $%F_{\xi}(x)$%, стремящейся к $%x$% справа. Из этого следует, что $%F_{\xi_n+\eta_n}(x)$% стремится к $%F_{\xi}(x)$% при $%n\to\infty$%.

ссылка

отвечен 28 Апр '17 23:32

изменен 29 Апр '17 3:32

@falcao: а почему вместе с точкой непрерывности $%x_k$% точкой непрерывности будет еще и $%-x_k$%? Не очень ясен этот момент.

(17 Май '17 0:54) stander

@stander: это по построению так. См. конец третьего абзаца. Последовательность x_n выбирается так, чтобы точками непрерывности были обе точки x_n и -x_n. Добиться этого всегда можно, потому что точек разрыва очень мало. Мы выкидываем счётное множество точек, для которых x или -x -- точка разрыва, и из оставшегося множества берём члены последовательности.

(17 Май '17 1:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,959

задан
28 Апр '17 22:48

показан
368 раз

обновлен
17 Май '17 1:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru