Существует ли такая дробнорациональная функция, интеграл от которой равен интегралу числителя, делённому на интеграл знаменателя?

задан 29 Апр '17 1:18

$%\frac{x+1}{x+1}$% по отрезку $%[0;1]$% ... такая подойдёт?...

(29 Апр '17 1:48) all_exist

@all_exist: а разве это подходит? Тут ведь интеграл равен x+C, а если проинтегрировать числитель и знаменатель по отдельности, получится (x^2/2+x+C1)/(x^2/2+x+C2).

(29 Апр '17 2:35) falcao

@falcao, мне почему-то подумалось про определённый интеграл... (((

(29 Апр '17 14:29) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь нужно как-то исключить в условии возможность рассмотрения тривиальных примеров. Также лучше, наверное, говорить в терминах производных, а не интегралов, поскольку производная всегда находится однозначно, а первообразная -- нет.

Пусть будет такая формулировка: существует ли рациональная дробь $%\frac{P(x)}{Q(x)}$%, производная которой совпадает с $%\frac{P'(x)}{Q'(x)}$%? Иными словами, $%\frac{P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}=\frac{P'(x)}{Q'(x)}$%. Ясно, что случай $%P(x)=0$% надо исключить как тривиальный, поэтому $%P(x)$% не есть константа. Также $%Q(x)$% не должно быть константой, чтобы знаменатель $%Q'(x)$% не обратился в ноль.

По правилу пропорции, получается $%P'QQ'-P(Q')^2=P'Q^2$%. Сравним степени многочленов. Пусть $%\deg P=m$%, $%\deg Q=n$%. Мы знаем, что $%m,n\ge1$%. Сравним степени многочленов в той и другой части. В левой части степень не превосходит $%m+2n-2$%, а в правой она равна $%m+2n-1$%. Значит, нетривиальных равенств такого типа нет.

ссылка

отвечен 29 Апр '17 2:34

@falcao , большое спасибо!

(1 Май '17 0:15) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,401
×1,285
×1,118
×370
×211

задан
29 Апр '17 1:18

показан
630 раз

обновлен
1 Май '17 0:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru