Пусть F свободная группа с образующими a1,...,an.Показать что W(ai) принадлежит коммутанту F(X1X2X1^-1X2^-1) тогда и только тогда, когда σi(W)=0 для всех i.

задан 29 Апр '17 18:59

10|600 символов нужно символов осталось
1

Каждому слову $%W$% от образующих сопоставим целочисленный вектор $%(k_1,...,k_n)$%, где $%k_i=\sigma_i(W)$% (алгебраическая сумма показателей степеней при $%a_i$%). Легко видеть, что этим правилом задаётся гомоморфизм свободной группы $%F$% на группу $%\mathbb Z^n$% с операцией сложения. Ядром будет в точности (нормальная) подгруппа $%N$%, состоящая из всех $%W$%, для которых $%\sigma_i(W)=0$% при всех $%1\le i\le n$%.

Поскольку факторгруппа абелева, ядро содержит коммутант. Докажем обратное. Надо доказать, что любой элемент ядра содержится в коммутанте. Это равносильно тому, что любой элемент из $%N$% равен 1 в факторгруппе по коммутанту. Ясно, что $%a_i^{\pm1}a_j^{\pm1}=a_j^{\pm1}a_i^{\pm1}$% в фактогруппе по коммутанту. Тогда любое слово от образующих равно в этой факторгруппе слову, в которой сначала идут все буквы $%a_1^{\pm1}$%, потом $%a_2^{\pm1}$%, ... , и в конце $%a_n^{\pm1}$% (поскольку буквы в факторгруппе перестановочны). Суммируя показатели степеней, для слова из $%N$% имеем единичный элемент, что и требовалось.

ссылка

отвечен 29 Апр '17 20:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×861
×63

задан
29 Апр '17 18:59

показан
320 раз

обновлен
29 Апр '17 20:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru