$$\int_{1}^{\infty} \frac{x+1}{x^a+\sqrt x}\cdot ln(\cos (1/x^a))dx$$ Исследовать несобственный интеграл на сходимость в зависимости от значения параметра a.

задан 30 Апр '17 11:59

изменен 30 Апр '17 11:59

10|600 символов нужно символов осталось
1

Чтобы интеграл был определён, нужно, чтобы косинус принимал положительные значения. Отсюда сразу следует $%a\ge0$%, причём ясно, что $%a=0$% не подходит. При $%a > 0$% выражение $%x^{-a}$% стремится к нулю при $%x\to+\infty$%. Отсюда $%\cos x^{-a}=1-\frac12a^{-2a}(1+o(1))$%, и $%\ln\cos x^{-a}=-\frac12x^{-2a}(1+o(1))$%.

Числитель эквивалентен $%x$%, и легко видеть, что значения $%a\le\frac12$% не подходят. При $%a > \frac12$% знаменатель эквивалентен $%x^a$%, и вся функция эквивалентна $%-\frac12x^{1-3a}$%. Отсюда $%3a-1 > 1$%, то есть $%a > \frac23$% есть условие сходимости.

ссылка

отвечен 30 Апр '17 13:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,672

задан
30 Апр '17 11:59

показан
333 раза

обновлен
30 Апр '17 13:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru