сходимость-ряда - Числовые ряды

@Стас001: в этом примере отношение уже дано. Если общий член ряда задан в виде произведения b_1...b_n, то отношение равно b_n. Здесь это 2^{1/2}-2^{1/(2n+1)}, что стремится к sqrt(2)-1, и это меньше 1, то есть ряд сходится по признаку Даламбера. Это лёгкий пример, он устно решается.

В 2592 опечатка в индексе: у a_n он должен быть нижний. Это теорема из учебника -- признак Даламбера в усиленном варианте. Лучше там же и прочитать.

@falcao А вот касаемо отношения, что оно уже дано, это просто свойство такое, если ряд задан в виде произведения?

@Стас001: это "очевидность". Если член ряда задан в виде произведения, то есть a_n=b_1...b_n, то a_n/a_{n-1}=(b_1...b_{n-1}b_n)/(b_1...b_{n-1})=b_n.