Пусть $%f: \mathbb{Z}^3\rightarrow \mathbb{Z}^3$% - гомоморфизм, заданный как $$f(a,b,c)=(2a+4b-2c,2a+6b-2c,2a+4b+c)$$

Содержит ли фактор $%\mathbb{Z}^3/f(\mathbb{Z}^3)$% (a) элементы порядка 4? (b) элементы бесконечного порядка?

задан 30 Апр '17 18:25

10|600 символов нужно символов осталось
1

Группа $%H=f(\mathbb Z_3)$% порождается тремя указанными в условии элементами. Вместо второго из них можно рассмотреть разность второго и первого; получится $%2b$%. Тогда порождающими подгруппы $%H$% окажутся элементы $%2a-2c$%, $%2b$%, $%2a+c$% после упрощения записи первого и третьего.

Перейдём к новому базису свободной абелевой группы, рассматривая элементы $%a$%, $%b$%, $%c'=c+2a$%. Тогда первый из порождающих группы $%H$% примет вид $%2a-2(c'-2a)=6a-2c'$%, и в новом базисе $%H$% окажется порождена элементами $%6a$%, $%2b$%, $%c'$%. Факторгруппа $%\mathbb Z^3/H$% будет изоморфна $%\langle a\rangle/\langle6a\rangle\times\langle b\rangle/\langle2b\rangle\times\langle c'\rangle/\langle c'\rangle\cong\mathbb Z_6\times\mathbb Z_2\cong(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2)\times\mathbb Z_3$%. В такой группе нет ни элементов порядка 4, ни элементов бесконечного порядка.

ссылка

отвечен 30 Апр '17 18:51

Почему она порождается тремя указанными в условии элементами? Разве она не порождается элементами (2,2,2), (4,6,4),(-2,-2,1)? Если рассмотреть матрицу с такими столбцами и назвать ее А, то f - умножение на A. AZ^3 порождается тремя векторами Ae_1, Ae_2, Ae_3 (они являются столбцами).

А буквы a,b,c здесь, кажется просто "переменные" для обозначения элементов Z^3, т.к. последние являются тройками (a,b,c). Или моё видение неверно?

(7 Авг 3:36) Slater

@Slater: да, образ порождается указанными Вами тройками. И тогда, если взять единичные векторы в качестве базиса и разложить по ним, то возникнут фактически те же определяющие соотношения. Если их упростить, то получится Z6xZ2.

Я написал несколько по-другому по причине невнимательности, но на результат это не влияет.

(7 Авг 9:29) falcao

Почему те же соотношения? В моем представлении, соотношения в факторгруппе будут $%2e_1+2e_2+2e_3=0,4e_1+6e_2+4e^3=0,-2e_1-2e_2+e_3=0$%. Это верно? Ответ у меня получается такой же.

(7 Авг 18:03) Slater

@Slater: ну, они не такие же в точности, но там разница примерно как между матрицей и транспонированной. Так или иначе, общий метод должен быть понятен.

(7 Авг 20:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,779

задан
30 Апр '17 18:25

показан
165 раз

обновлен
7 Авг 20:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru