Сколькими способами можно посадить за круглым столом $%3$% англичан, $%3$% французов и $%3$% немцев так, чтобы никакие три соотечественника не сидели рядом?

задан 30 Апр '17 22:03

10|600 символов нужно символов осталось
2

Будем считать, что все места за столом пронумерованы, и что все люди -- разные (другие варианты трактовки можно свести к рассматриваемому).

Общее число способов рассадить 9 человек равно $%9!$%. Далее применяем формулу включений и исключений. Пусть все англичане сидят рядом. Загадываем 9 способами место для среднего из них, затем $%3!$% способами принцип их рассадки по трём местам, и далее остаётся $%6!$% способов для рассадки остальных. Получается $%9\cdot3!\cdot6!$% способов, и столько же способов будет, если рядом сидят трое французов, а также трое немцев.

Пусть теперь рядом сидят три англичанина и три француза. Для рассадки англичан имеем, как и выше, $%9\cdot3!$% способов. Осталось 6 мест, и из них можно 4 способами выделить три места подряд для французов. Домножаем на $%3!$%, а затем ещё раз на $%3!$% для рассадки немцев. Итого будет $%9\cdot3!\cdot4\cdot3!^2$%. Столько же способов получается для двух симметричных вариантов (подряд сидят англичане и немцы, или же французы и немцы).

Наконец, пусть все три группы сидят подряд. Для англичан выбираем рассадку $%9\cdot3!$% способами, затем $%2\cdot3!$% для французов, и $%3!$% для немцев. Все эти числа перемножаем.

Теперь формула включений и исключений даёт $%9!-3\cdot9\cdot3!\cdot6!+3\cdot9\cdot3!\cdot4\cdot3!^2-9\cdot3!\cdot2\cdot3!^2=265680$%.

Можно было работать с меньшими числами, временно считая представителей одной национальности "одинаковыми", и в конце домножая на $%3!^3$%.

ссылка

отвечен 30 Апр '17 22:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,297

задан
30 Апр '17 22:03

показан
3013 раз

обновлен
30 Апр '17 22:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru