Дано: $$x, y, z > 0$$ $$r=\sqrt[]{x^2+y^2+z^2}$$ Доказать, что: $$xy\ln{\frac{r+z}{r-z}}+xz\ln{\frac{r+y}{r-y}}+yz\ln{\frac{r+x}{r-x}} > x^2\arctan{\frac{yz}{xr}}+y^2\arctan{\frac{xz}{yr}}+z^2\arctan{\frac{xy}{zr}}$$ Преподаватель говорит воспользоваться неравенством Йенсена, но как его применить сообразить не могу.

задан 1 Май 14:42

изменен 1 Май 17:12

Для начала - замените переменные на x'=x/r, y'=y/r и z'=z/r. Кроме того, полезно сразу умножить обе части нер-ва на r/xyz. После этого очень многое упростится

(1 Май 15:49) knop

Правая часть оценивается несложно из соображений выпуклости вверх функции арктангенс. А с левой частью надо что-то аналогичное придумать для выпуклости вниз.

(1 Май 16:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

$$x^2\arctan\left( \dfrac{yz}{rx} \right)+ y^2\arctan\left( \dfrac{zx}{ry} \right)+z^2\arctan\left(\dfrac{xy}{rz}\right) \le \dfrac{3xyz}{r}$$

$$xy\ln\left( \dfrac{r+z}{r-z}\right ) \ge2\dfrac{xyz}{r} \ , \ ...$$

$$xy\ln\left( \dfrac{r+z}{r-z}\right)+yz\ln\left( \dfrac{r+x}{r-x}\right)+zx\ln\left( \dfrac{r+y}{r-y}\right) \ge \dfrac{6xyz}{r} $$

ссылка

отвечен 1 Май 16:40

изменен 1 Май 19:13

@Sergic Primazon Хорошо, но как получается xyln(r+zr−z)≥2xyzr ?

(1 Май 19:17) dmin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,761
×2,109
×340
×221
×150

задан
1 Май 14:42

показан
238 раз

обновлен
1 Май 19:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru