Дан тетраэдр ABCD. Доказать, что его ребра AD и BC взаимно перпендикулярны в том и только в том случае, когда выполняется равенство $$AB^2+DC^2=AC^2+DB^2$$

Меня интересует чисто геометрическое решение (без векторов)!

Я додумался, что можно параллелепипед около тетраэдра описать. А потом нужно доказать, что грани содержащие эти прямые - ромбы. Мои попытки дальше не ушли( Я был бы очень рад, если через такое свойство можно было бы доказать эту теорему :D

задан 2 Май '17 11:38

изменен 2 Май '17 11:46

Мне кажется, поиск чисто геометрического доказательства в данном случае -- это не лучшая идея. Понятно, что при помощи нескольких дополнительных построений можно будет всё свести к многократному применению теоремы Пифагора. Но без векторов часто приходится рассматривать много случаев расположения точек -- когда точка проектируется на отрезок, или на его продолжение. Учитывать знаки, и всё остальное. При желании, конечно, можно сначала свести пространственную задачу к плоской (это несложно), но с векторами всё равно будет лучше.

(2 Май '17 13:54) falcao

@falcao а тут разве нужно рассматривать много случаев? Около любого тетраэдра можно описать параллелепипед. Я только одно свойство доказать не могу - перпендикулярность диагоналей в одной гране!

(2 Май '17 14:35) fsdSSSS

@fsdSSSS: я имел в виду некий способ рассуждения, где разные конфигурации возникают. По этой причине он был сразу "забракован". Вы предлагаете нечто другое. Если так, то надо сначала проработать эту идею. Мне пока непонятно, каким образом у Вас будет использоваться условие равенства суммы квадратов.

(2 Май '17 15:10) falcao

@fsdSSSS, я могу ошибаться... но в условии не хватает третьего равенства с ещё одной суммой квадратов противоположных рёбер...

Если оно есть, тогда используя то, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей сумме квадратов всех сторон, получите, что все грани - ромбы...

(2 Май '17 19:37) all_exist

@all_exist: если использовать скалярное произведение, то окажется, что равенство из условия в точности равносильно перпендикулярности прямых AD и BC. То есть тут ничего не пропущено. См. здесь и далее по ссылке.

(2 Май '17 20:11) falcao

@falcao, ааааа... там же только про пару рёбер говорится... а я думал, что все пары ... тогда - достаточно... и как раз нужный ромб получится...

(2 Май '17 20:44) all_exist

@all_exist: я такие вещи обычно всегда делаю при помощи векторов. Здесь я даже не пытался представить себе, что получится в результате. Если Вам понятна идея автора вопроса об альтернативном доказательстве, то, может быть, изложите?

(2 Май '17 21:27) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
2

@falcao, Если Вам понятна идея автора вопроса об альтернативном доказательстве, то, может быть, изложите? - В общем всё написано в комментарии... но если хотите подробностей, то примерно так...

Пусть противоположные рёбра тетраэдра являются диагоналями параллелепипеда с рёбрами $%a$%, $%b$% и $%c$% (как изображено на рисунке)...

alt text

$$ AB^2+CD^2 = AC^2+BD^2 $$ $$ 2(a^2+b^2) = 2(a^2+c^2) $$ следовательно, $%b=c$%, то есть $%BC$% и $%AD$% - диагонали ромба...

ссылка

отвечен 2 Май '17 21:58

изменен 3 Май '17 22:47

@all_exist: вот, теперь всё сразу стало понятно!

(2 Май '17 22:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709

задан
2 Май '17 11:38

показан
514 раз

обновлен
3 Май '17 22:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru