докажите, что если для четырехугольника суммасумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей, то он параллелограмм

задан 2 Май '17 18:09

Это можно доказать при помощи векторов, если разрешена векторная техника. А можно рассуждать при помощи теоремы косинусов, обозначая длины отрезков OA, OB, OC, OD (O -- точка пересечения диагоналей), и применяя теорему косинусов.

(2 Май '17 18:13) falcao

@falcao не могли бы вы пожалуйста показать, мне тяжело даются доказательства

(2 Май '17 20:42) Koval

@Koval: выше я дал указания к решению. Имело смысл начать делать что-то из сказанного. Дошли бы до какого-то равенства, потом бы я что-то ещё подсказал. Убеждение, будто Вам что-то "тяжело даётся", мешает взять и начать что-то делать. А если бы Вы начали (пусть и не зная, куда оно приведёт), то из этого что-то бы получилось.

В жизни очень часто бывает полезно продумать всё до конца, а потом начать делать. Типа "семь раз отмерь, один отрежь". В математике всё наоборот. Здесь действует принцип "сначала сделать, потом подумать" :)

(2 Май '17 21:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Изложим рассуждение при помощи теоремы косинусов. Пусть $%O$% -- точка пересечения диагоналей четырёхугольника $%ABCD$%. Обозначим длины отрезков $%OA$%, $%OB$%, $%OC$%, $%OD$% через $%a$%, $%b$%, $%c$%, $%d$% соответственно, и пусть $%\phi$% -- величина угла $%AOB$%. Применим теорему косинусов в каждому из четырёх треугольников, на которые диагонали разбивают четырёхугольник $%ABCD$%. Помним при этом, что косинусы смежных углов отличаются знаком.

Имеем следующее:

$%AB^2=a^2+b^2-2ab\cos\phi$%;

$%BC^2=b^2+c^2+2bc\cos\phi$%;

$%CD^2=c^2+d^2-2cd\cos\phi$%;

$%DA^2=d^2+a^2+2da\cos\phi$%.

Складывая всё вместе, имеем сумму квадратов длин сторон, равную $%2(a^2+b^2+c^2+d^2)-2\cos\phi(a-c)(b-d)$%. Заметим, что $%(a+c)^2+(a-c)^2=2(a^2+c^2)$%, а также $%(b+d)^2+(b-d)^2=2(b^2+d^2)$%. Сумма квадратов длин диагоналей равна $%(a+c)^2+(b+d)^2$%. Отсюда $%AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-AC^2-BD^2=(a-c)^2+(b-d)^2-2\cos\phi(a-c)(b-d)$%.

По условию, левая часть предыдущего уравнения нулевая. Достаточно доказать, что $%a=c$%, $%b=d$%, откуда сразу следует, что $%ABCD$% -- параллелограмм (диагонали делятся точкой пересечения пополам). Из $%a-c=0$% сразу следует, что $%b-d=0$%, и наоборот. В противном случае строим треугольник с длинами $%|a-c|$%, $%|b-d|$%, и углом $%\phi$% или $%\pi-\phi$% между ними. Тогда из теоремы косинусов будет следовать, что третья сторона треугольника равна нулю, что невозможно.

Но такие вещи, конечно, лучше всего доказывать при помощи векторов -- тогда всё получается быстро и автоматически.

ссылка

отвечен 2 Май '17 21:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,920

задан
2 Май '17 18:09

показан
371 раз

обновлен
2 Май '17 21:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru