Найдите на какую максимальную степень двойки делится выражение. Для удобства используйте один из трех вариантов записи этого выражения:

$%\lfloor (1+\sqrt3)^{2n+1} \rfloor=(1+\sqrt3)^{2n+1}+(1-\sqrt3)^{2n+1}=2\sum\limits_{i=0}^n3^i\binom{2n+1}{2i}$%

задан 2 Май '17 20:46

изменен 2 Май '17 20:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Последовательность удовлетворяет рекуррентному соотношению $%a_n=8a_{n-1}-4a_{n-2}$% при $%n\ge3$%, где $%a_1=2$%, $%a_2=20$%. Это легко выводится из вида квадратного уравнения, которому удовлетворяют корни $%(1\pm\sqrt3)^2$%: их сумма равна $%8$%, а произведение $%-4$%. Легко видеть, что $%a_1$% делится на $%2^1$%, и $%a_2$% делится на $%2^2$%, причём это максимальные степени двойки. Положим $%b_n=a_n/2^n$%. Тогда $%b_1=1$%, $%b_2=5$%, и $%b_n=4b_{n-1}-b_{n-2}$% при $%n\ge3$%. По индукции, все числа этой последовательности целые нечётные. Поэтому максимальная степень двойки, на которую делится выражение из условия, равна $%2^n$%.

ссылка

отвечен 2 Май '17 21:07

А где побыстренькому ознакомиться с понятием характеристического уравнения и его приложениями. Чтобы там доказывалась теорема с произведением корней и их суммой (что они равны коэффициентам в рекуррентном соотношении). Я например знаю два метода вывода формул общего члена рекуррентностей 1. через производящие функции 2. Переписать $%a_n=8a_{n−1}−4a_{n−2}$% как $%a_n-x_1a_{n−1}=(8-x_1)(a_{n−1}−\frac{4}{8-x_1}a_{n−2})$% итд. Но не понимаю что такое характеристическое уравнение (и связано ли оно с характеристическим многочленом?) и не могу сходу доказать что сумма и произведение корней ур-я= ...

(3 Май '17 1:09) abc

@abc: это всё - достаточно стандартные и популярные факты. Например, есть брошюра Маркушевича "Возвратные последовательности". Здесь достаточно такой очевидной проверки: если L -- корень квадратного уравнения L^2-8L+4=0, то L^n удовлетворяет рекуррентному соотношению, что сразу видно после домножения на L^{n-2}. Тогда это верно для обоих корней, а также для любой линейной комбинации степеней, так как уравнение однородно.

Характеристическое уравнение можно считать просто названием, хотя некая связь с характерическим многочленом тут есть (если подобрать подходящий линейный оператор).

(3 Май '17 1:47) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×207

задан
2 Май '17 20:46

показан
1017 раз

обновлен
3 Май '17 1:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru