Очень прошу подсказать или посоветовать источник, где можно почитать про возведение треугольных матриц в большую степень. Например, как быстро вычислить $%\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^{40}$%.

задан 4 Май '17 6:43

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим несколько способов. Матрица A из условия имеет след, равный 4, и определитель, равный 4. Её характеристический многочлен равен $%p(t)=t^2-4t+4$%. По теореме Гамильтона - Кэли, матрица удовлетворяет уравнению $%p(A)=A^2-4A+4E=0$%. Для нахождения $%A^{40}$% достаточно знать остаток от деления многочлена $%t^{40}$% на $%p(t)$%. Это будет многочлен вида $%ct+d$% для некоторых констант $%c$%, $%d$%, и тогда ответом будет матрица $%cA+dE$%. Это один из возможных способов, но в данном случае всё проще. Здесь $%A=2E+B$%, где $%B^2=0$%. Поэтому для возведения в $%n$%-ю степень можно применить биномиальную формулу (слагаемые коммутируют). Получится $%A^n=(2E+B)^n=2^nE+n2^{n-1}B$%, и все остальные слагаемые равны нулю. То есть получится матрица $%A^n=\begin{pmatrix} 2^n & n2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$%.

Этот же вид матрицы можно угадать, рассматривая небольшие значения $%n$%, и далее доказать методом математической индукции. В тех случаях, когда матрица диагонализируема, её сначала приводят к виду $%T^{-1}DT$%, где $%D$% диагональна, и затем возводят в степень, получая $%T^{-1}D^nT$%, где для диагональной матрицы всё возводится просто.

ссылка

отвечен 4 Май '17 13:12

изменен 4 Май '17 13:13

10|600 символов нужно символов осталось
1

Данная матрица является жордановой клеткой... а для жордановой формы есть формула вычисления функции от матрицы... $$ A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad f(A)=\begin{pmatrix} f(2) & f'(2) \\ 0 & f(2) \end{pmatrix} $$ Вроде так...

ссылка

отвечен 4 Май '17 19:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×416

задан
4 Май '17 6:43

показан
1389 раз

обновлен
4 Май '17 19:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru