В треугольнике BCD известны длины сторон : BC=5,CD=6,BD=7.Три окружности попарно касаются друг друга внешним образом в точках B,C и D.Найти радиус наибольшей окружности.

задан 4 Май '17 20:21

10|600 символов нужно символов осталось
1

Соединим центры окружностей между собой, получая треугольник, для которого точки B, C, D будут точками касания вписанной окружности. С помощью теоремы косинусов находим углы треугольника BCD. Косинусы углов принимают значения 1/5, 5/7, 19/35. Нетрудно заметить, что при этом получаются синусы половинных углов треугольника с вершинами в центрах окружностей.

Теперь нетрудно найти радиус каждой из окружностей, рассматривая равнобедренные треугольники, боковые стороны которых равны радиусам, основания даны в условии, а синусы половинных углов мы нашли. Радиусы оказываются соответственно равны (7/2):(1/5)=35/2, (5/2):(5/7)=7/2, (6/2):(19/35)=105/19. Наибольший из радиусов равен 35/2.

ссылка

отвечен 4 Май '17 21:29

Можете пожалуйста объяснить поподробнее про синусы половинных углов,не очень понял. И как вы нашли радиусы? Почему вы половину стороны делили на косинус?

(4 Май '17 22:53) dmrm

@dmrm: давайте сменим обозначения, чтобы было проще. Пусть ABC -- треугольник со стандартными обозначениями длин и углов; A1, B1, C1 -- точки касания вписанной окружности. Очевидно, что угол A1B1C1 равен (alpha+gamma)/2=п/2-beta/2. Мы знаем его косинус, то есть знаем sin(beta/2). Радиусы касающихся окружностей равны BA1=BC1, и так далее. Треугольник A1BC1 равнобедренный. Длина боковой стороны равна половине A1C1 (что дано в условии), делённой на синус половины угла при вершине B, а его мы только что нашли.

(4 Май '17 23:02) falcao

Спасибо за объяснение, очень помогли.

(5 Май '17 14:41) dmrm
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
4 Май '17 20:21

показан
1439 раз

обновлен
5 Май '17 14:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru