При каком условии точки z1 и z2 являются стереографическими проекциями двух диаметрально противоположных точек сферы?

Ответ таков: z1 * z2 = -1, где z2 - комплексно-сопряженное число для z2. Как это можно доказать?

Также видел следующую фразу: "Чтобы получить одну точку из другой, следует произвести инверсию относительно единичной окружности с центром в точке 0, а затем симметрию относительно точки 0". Откуда единичная окружность ясно, но почему верно это утверждение?

задан 4 Май '17 21:55

изменен 4 Май '17 21:58

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь нужно уточнить, что диаметр сферы Римана считается равным 1. В противном случае это неверно (скажем, за единицу можно было принять радиус).

Пусть O -- начало координат, сфера с диаметром NO=1 касается комплексной плоскости, и из точки N проводится стереографическая проекция. Пусть P -- середина ON (центр сферы), A и B -- диаметрально противоположные точки, A' и B' -- их проекции на плоскость.

Рассмотрим плоский рисунок, проводя сечение сферы через точки N, A, B. Угол ANB опирается на диаметр окружности, поэтому он прямой. Тогда треугольник A'NB' прямоугольный, и NO -- его высота. По известному свойству прямоугольного треугольника, длина высоты есть среднее геометрическое длин отрезков A'O, OB'. Значит, произведение длин равно 1.

Если комплексное число z1 имеет радиус r и аргумент ф, то z2 имеет радиус 1/r и аргумент ф+п. При сопряжении аргумент меняет знак. Тогда при умножении z1 на z2 с чертой модуль будет равен 1, а аргумент равен -п, то есть получится -1.

ссылка

отвечен 4 Май '17 22:14

@falcao, Только разве то, что мы доказали, что для "нужных" z1 и z2: z1 * (z2 с чертой) = -1, доказывает то, что если z1 * (z2 с чертой) = -1, то z1 и z2 - "нужные"? Нет же, в общем случае?

Ответ отметил, как решение, так как это не играет роли, главный вопрос - при каком условии. За ответ я принял утверждение: если z1 = r*e^(i*[phi]) и z2 = e^(i*([phi]+[pi]))/r, то точки z1 и z2 являются стереографическими проекциями двух диаметрально противоположных точек сферы.

(5 Май '17 6:47) sinasey

@sinasey: здесь разницы между прямым и обратным утверждением, по сути дела, нет: важно было лишь проверить, что условие именно такое. Доказано, что образы двух диаметрально противоположных точек сферы удовлетворяют равенству, связывающему z1 и z2. В обратную сторону всё идёт автоматически: если z1 и z2 такие, как в условии, то рассматриваем их прообразы на сфере. Для первого прообраза берём диаметрально противоположную точку. Она проектируется в z2. Значит, прообразы диаметрально противоположны.

(5 Май '17 13:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×159

задан
4 Май '17 21:55

показан
1055 раз

обновлен
5 Май '17 13:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru