Написать уравнение плоскости проходящей через прямую $$ \frac{x-2}{2}= \frac{y-3}{-1}= \frac{z-2}{0} $$ и касающейся эллипсоида$$ \frac{ x^{2} }{16}+ \frac{ y^{2} }{12}+ \frac{z^{2}}{4}=1$$

задан 5 Май '17 20:11

10|600 символов нужно символов осталось
1

Берём уравнение касательной плоскости к эллипсу $$ \frac{\xi \cdot x}{16}+\frac{\eta \cdot y}{12}+\frac{\zeta \cdot z}{4} =1, $$ где $%(\xi;\eta;\zeta)$% - точка касания... Для этих величин получаете три уравнения:
1) точка принадлежит эллипсу;
2) плоскость проходит через точку прямой;
3) нормаль плоскости перпендикулярна направляющему вектору прямой ... (или плоскость проходит через ещё одну точку прямой).

Решаете систему и получаете ответ...

ссылка

отвечен 5 Май '17 21:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут можно разными способами решать. Можно применить линейное преобразование, переводящее эллипсоид в сферу. При этом задача несколько упрощается. Можно этого не делать, взяв точку касания с координатами $%(a,b,c)$%. Они удовлетворяют уравнению эллипсоида, а градиент в этой точке равен $%(\frac{a}8,\frac{b}6,\frac{c}2)$%. Берём пропорциональный ему вектор, который будет нормалью к касательной плоскости, уравнение которой можно представить в виде $%3ax+4by+12cz=d$%, где $%d=3a^2+4b^2+12c^2$%.

Теперь приравниваем все дроби из канонического уравнения прямой параметру $%t$%. Вектор $%(x,y,z)=(2t+2,-t+3,2)$% должен принадлежат касательной плоскости при любом $%t$%. Делаем подстановку: $%6at+6a-4bt+12b+24c=3a^2+4b^2+12c^2$%, откуда $%3a=2b$%. Второе уравнение имеет вид $%6a+12b+24c=3a^2+4b^2+12c^2$%, и в нём можно избавиться от переменной $%b$%, получая $%2a+2c=a^2+c^2$% после сокращения на $%12$%. Ещё одно уравнение даёт $%3a^2+4b^2+12c^2=48$% с учётом принадлежности точки эллипсоиду, откуда $%a^2+c^2=4$%, а также $%a+c=2$%. Это даёт два решения $%a=2$%, $%b=3$%, $%c=0$%, и $%a=0$%, $%b=0$%, $%c=2$%. Две касательные плоскости имеют уравнения $%x+2y=8$% (сократили на $%6$%) и $%z=2$% (сократили на $%24$%).

ссылка

отвечен 5 Май '17 21:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×847

задан
5 Май '17 20:11

показан
1404 раза

обновлен
5 Май '17 21:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru