Помогите, пожалуйста, в решении данного примера. Найти производную выражения по s, а потом вместо s подставить 1. L(s)=(1-2^(1-s))ζ(s), где ζ(s)дзета-функция

Должно получиться следующее выражение
L’(s)(s=1)=(2γ-ln2)(ln2)/2

задан 5 Май '17 20:48

изменен 6 Май '17 18:09

Спасибо! Второй интеграл никак не получается вычислить.

(6 Май '17 16:42) Serg
10|600 символов нужно символов осталось
1

В книге Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. "Специальные функции - формулы, графики, таблицы" (М: Наука, 1964) на стр 89 есть представление Вашей функции в виде $$ L(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\cdot\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{t^{s-1}}{e^t +1}\;dt $$ Если такое представление продифференцировать, то получим $$ L'(s) = -\frac{\Gamma'(s)}{\Gamma^2(s)}\cdot\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{t^{s-1}}{e^t +1}\;dt + \frac{1}{\Gamma(s)}\cdot\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{t^{s-1}\cdot\ln t}{e^t +1}\;dt, $$ откуда $$ L'(1) = \gamma\cdot\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{1}{e^t +1}\;dt + \int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\ln t}{e^t +1}\;dt $$ Первый интеграл считается влёт $$ \int\limits_{0}^{+\infty}\frac{1}{e^t +1}\;dt = -\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{d\Big(e^{-t}\Big)}{1 + e^{-t}}\;dt = -\ln\Big(1 + e^{-t}\Big) = \ln 2 $$ Тут в предпоследнем выражении я пропустил границы, так как их не любит местный редактор...

Второй интеграл немного противнее... его придётся считать при помощи вычетов... про вычисление интегралов такого типа можно посмотреть в учебнике Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. "Лекции по ТФКП" (М: Наука, 1989) стр 247 и далее...

ссылка

отвечен 5 Май '17 22:30

изменен 5 Май '17 22:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×11

задан
5 Май '17 20:48

показан
450 раз

обновлен
6 Май '17 18:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru