|
Помогите, пожалуйста, в решении данного примера. Найти производную выражения по s, а потом вместо s подставить 1. L(s)=(1-2^(1-s))ζ(s), где ζ(s)дзета-функция Должно получиться следующее выражение задан 5 Май '17 20:48 
Serg |
|
В книге Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. "Специальные функции - формулы, графики, таблицы" (М: Наука, 1964) на стр 89 есть представление Вашей функции в виде $$ L(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\cdot\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{t^{s-1}}{e^t +1}\;dt $$ Если такое представление продифференцировать, то получим $$ L'(s) = -\frac{\Gamma'(s)}{\Gamma^2(s)}\cdot\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{t^{s-1}}{e^t +1}\;dt + \frac{1}{\Gamma(s)}\cdot\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{t^{s-1}\cdot\ln t}{e^t +1}\;dt, $$ откуда $$ L'(1) = \gamma\cdot\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{1}{e^t +1}\;dt + \int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\ln t}{e^t +1}\;dt $$ Первый интеграл считается влёт $$ \int\limits_{0}^{+\infty}\frac{1}{e^t +1}\;dt = -\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{d\Big(e^{-t}\Big)}{1 + e^{-t}}\;dt = -\ln\Big(1 + e^{-t}\Big) = \ln 2 $$ Тут в предпоследнем выражении я пропустил границы, так как их не любит местный редактор... Второй интеграл немного противнее... его придётся считать при помощи вычетов... про вычисление интегралов такого типа можно посмотреть в учебнике Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. "Лекции по ТФКП" (М: Наука, 1989) стр 247 и далее... отвечен 5 Май '17 22:30 
all_exist |
Спасибо! Второй интеграл никак не получается вычислить.