теория-вероятностей - Закон больших чисел

а) Для попарно независимых случайных величин (этого условия достаточно) закон больших чисел справедлив при условии, что их дисперсии в совокупности ограничены; см. здесь. Здесь матожидания нулевые, а дисперсии равны 1, поэтому среднее арифметическое случайных величин $%\xi_1$%, ... , $%\xi_n$% сходится к нулю по распределению.

Для с.в. $%\eta_i$% условия попарной независимости уже нет, но их среднее арифметическое равно $%\frac{\eta_1+\cdots+\eta_n}n=\frac{\xi_1+2\xi_2+\cdots+2\xi_{n-1}+\xi_n}n=2\frac{\xi_1+\cdots+\xi_n}n-\frac1n\xi_1-\frac1n\xi_n$%. Легко видеть, что каждое слагаемое здесь стремится к нулю по вероятности, а потому и сумма тоже, поэтому ЗБЧ выполнен.

б) Характеристическая функция случайной величины $%\xi_n$% равна $%\cos2^nt$%. Для суммы $%\xi_1+\cdots+\xi_n$% в силу независимости получится х.ф. $%\cos t\cos2t...\cos2^nt$%. Пусть $%\sin t\ne0$%. Домножим и разделим данную величину на $%\sin t$%, применяя несколько раз тригонометрическое тождество для синуса удвоенного угла. Получится $%\dfrac{\sin2^{n+1}t}{2^n\sin t}$%. Для среднего арифметического $%\frac{\xi_1+\cdots+\xi_n}n$% надо заменить $%t$% на $%t/n$%, что даст $%\dfrac{\sin(2^{n+1}t/n)}{2^n\sin(t/n)}$%. При $%t\in(0;1)$% получится, что числитель ограничен, а знаменатель эквивалентен $%2^nt/n$%, то есть стремится к бесконечности. Поэтому дробь стремится к нулю. Если бы ЗБЧ имел место, то х.ф. среднего арифметического стремилась бы к единице при любом $%t$%, что не выполнено.