Помогите пожалуйста.... В пятницу была тема условная и абсолютная сходимость,в голове "винегрет". У нас есть признак Даламбера, Коши и Лейбница. По ним всем можно определить только условную сходимость, или по какому-то и абсолютную??? Если определили сходимость, как проверять на абсолютность? Предельный признак сравнения, теорема сравнения??? Пожалуйста разъясните.

задан 6 Май '17 19:08

1

@Стас001: нужно выделить в сознании такую отдельную категорию как "знакопостоянные ряды". Для них работают такие признаки сходимости как Даламбера, Коши, интегральный, и так далее. В этом случае вопроса об условной сходимости не возникает. Он актуален лишь тогда, когда знаки у членов разные, причём это происходит "до бесконечности". Тогда можно сначала посмотреть, не сходится ли ряд из модулей, если "минусы" убрать. Это знакопостоянный ряд, то есть предыдущая тема. Если да, то есть абсолютная сходимость. Если нет, то можно пытаться применить признак Лейбница, доказывая условную сходимость.

(6 Май '17 19:44) falcao

@falcao Ну вооооот же!!! Четко, ясно и понятна последовательность действий. Нас и в Лицее так учили, сначала алгоритм запишем, а потом уже к примерам. Спасибо большое вам!

(6 Май '17 20:02) Стас001

@Стас001: я написал предельно кратко, но если это подошло, то и прекрасно. Вообще-то далеко не всё можно "алгоритмизировать", и очень часто излишний схематизм мешает. Важно так настроить сознание, чтобы оно само совершало нужные действия в нужном порядке, руководствуясь не схемой, а какими-то внутренними смыслами.

(6 Май '17 20:12) falcao

@falcao А как тут быть? Ну минус единицу понятно убираем, но ведь не удобен ни Даламбер, ни Коши, ни Лейбниц... https://pp.userapi.com/c636320/v636320991/72881/CXpyLdlXFbM.jpg

(7 Май '17 16:17) Стас001

@Стас001: это типовая задача на признак Лейбница -- тут знакочередующийся ряд. Доказать надо только то, что sqrt(n)/(n+100) стремится к нулю монотонно, начиная с некоторого члена. Это делается при помощи производной: рассматривается функция x/(x^2+100), и показывается, что её производная отрицательна при x > x0.

(7 Май '17 16:28) falcao

@falcao То есть т.к тут Лейбниц сходимость будет условная?

(7 Май '17 16:56) Стас001

@Стас001: по признаку Лейбница ряд сходится. Вопрос о том, будет ли ряд сходиться абсолютно, рассматривается отдельно. Но это просто: общий член ряда из модулей эквивалентен n^{-1/2}, а такой ряд расходится по интегральному признаку. Из этого следует, что данный ряд сходится условно.

(7 Май '17 17:04) falcao

@falcao А по Даламберу и Коши сходимость сразу абсолютная?

(7 Май '17 17:18) Стас001

@Стас001: признаки Даламбера и Коши применимы к знакоположительным рядам. (В данной задаче они не применимы, так как ряд знакочередующийся.) Как уже говорилось выше, для рядов с положительными членами сходимость и абсолютная сходимость -- это одно и то же. Поэтому говорить в этом случае надо просто о сходимости.

Повторю свою фразу, сказанную в начале: нужно выделить в сознании такую отдельную категорию как "знакопостоянные ряды". Пока эта мысль в полной мере не овладеет сознанием, будут возникать вопросы, которые возникать не должны.

(7 Май '17 17:25) falcao

@falcao То есть "ряд из модулей" нужно проверять тоже только по Лейбницу?

(7 Май '17 17:42) Стас001

@Стас001: никак не могу добиться искоренения явной путаницы :(

Ещё раз: перечитайте формулировку признака Лейбница, и уясните, что он применим только к знакочередующимся рядам. Ряд из модулей всегда имеет неотрицательные члены, он знакопостоянный. Поэтому применить к нему признак Лейбница -- примерно то же, что применить теорему Пифагора к остроугольному треугольнику.

(7 Май '17 19:12) falcao
1

@Стас001: ряд из модулей может оказаться любым, поэтому исследование его сходимости есть общая задача о сходимости ряда с неотрицательными членами. Там, в зависимости от ситуации, могут применяться разные признаки -- те, которые применимы. Здесь сразу ясно, что по Даламберу и Коши получаются пределы, равные 1, то есть ответа эти признаки не дают. А сравнение с рядом, который расходится по интегральному признаку, работает.

(7 Май '17 21:12) falcao

@falcao Прошу прощения, если можно еще, небольшое уточнение... На днях спросил у преподавательницы по практики одну вещь. Допустим, у нас есть знакопеременный ряд. Мы пытаемся определить его абсолютную сходимость, с помощью признака Даламбера или Коши исследуя ряд из абсолютных величин исходного ряда. Если не получается, то берем признак Лейбница. Если по Лейбницу сходится, то ряд СРАЗУ условно сходящийся. Разве это верно?

(14 Май '17 17:07) Стас001
1

@Стас001: если признак Лейбница применим, отсюда можно сделать вывод о сходимости ряда. Будет она условной или абсолютной? Для этого нужно рассмотреть ряд из модулей. Он знакоположительный, к нему можно попытаться применить какой-то из признаков. Может так оказаться, что по Даламберу и Коши признак не даёт ответа. Тогда никаких выводов сделать нельзя. А если, например, мы применили интегральный признак, и по нему знаем, что ряд из модулей расходится, то тогда сходимость условная, а не абсолютная.

Надо иметь в виду, что здесь нет ни "чудес", ни "сюрпризов". А ещё лучше обсуждать на примерах.

(14 Май '17 18:46) falcao

@falcao Теперь понял, спасибо!

(15 Май '17 17:17) Стас001
показано 5 из 15 показать еще 10
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×429

задан
6 Май '17 19:08

показан
1065 раз

обновлен
15 Май '17 17:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru