В кассе сопротивлений лежат n резисторов разных номиналов. Из кассы n раз подряд выбирается случайный элемент, его номинал записывается, а элемент возвращается обратно. Найти вероятность того, что выписанный ряд номиналов будет содержать какую-то комбинацию, включающую три самых малых номинала.

задан 6 Май '17 19:29

10|600 символов нужно символов осталось
1

Не знаю, зачем здесь говорится о "комбинации": ведь если речь о "включении", то полный список включает в себя всё. Скорее всего, здесь имеется в виду, что три самых малых номинала мы когда-то доставали. Такая задача вполне разумна, и можно пытаться её в такой постановке и решать.

Можно считать, что у нас есть набор значений 1, 2, ... , n, и мы рассматриваем n чисел, каждое из которых с вероятностью 1/n принимает одно из этих значений. Спрашивается, с какой вероятностью в списке будут присутствовать три наименьших числа, то есть 1, 2, 3.

Пусть A, B, C -- события, состоящие в том, что числа 1, 2, 3 соответственно хотя бы раз появлялись. Нас интересует вероятность P(ABC). Она равна 1-P(A' U B' U C'), где штрих обозначает дополнение. Вероятность объединения мы находим по формуле включений и исключений. P(A') равно вероятности того, что 1 ни разу не было, и это (1-1/n)^n. Такие же значения имеют P(B') и P(C'). Далее, для двойных пересечений у нас вероятность P(A'B') означает, что не было ни 1, ни 2. Вероятность равна (1-2/n)^n, и то же для случаев P(A'C'), P(B'C'). Наконец, вероятность тройного пересечения равна (1-3/n)^n.

Итого будет 1-3(1-1/n)^n+3(1-2/n)^n-(1-3/n)^n. Это же самое можно записать в виде (n^n-3(n-1)^n+3(n-2)^n-(n-3)^n)/n^n.

Можно также заметить, что при n>>1 данная величина стремится к 1-3e^{-1}+3e^{-2}-e^{-3}=(1-1/e)^3, и это чуть больше 1/4.

ссылка

отвечен 6 Май '17 19:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,958

задан
6 Май '17 19:29

показан
528 раз

обновлен
6 Май '17 19:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru