На окружности с центром в точке O, имеющей радиус R, размещена некоторая фиксированная точка F. На ту же самую окружность случайно и независимо по отношению друг к другу помещают еще две точки: A и B. Определить вероятность того, что площадь сектора AOB окажется больше (R^2)/4

задан 6 Май '17 19:37

Тут что-то не так с условием, потому что точка F далее нигде не задействована. По-видимому, имелось в виду, что дуг с концами A, B две, и секторов AOB два, и тогда из них выбирается то, куда попала точка F.

Здесь ещё надо проверить, не пропустили ли множитель п? Величина пR^2/4 как площадь четвёртой части круга смотрелась бы более естественно. Но вообще-то тут с помощью геометрической вероятности всё решается достаточно несложно.

(6 Май '17 20:17) falcao

Я перепроверил, всё так как я и написал, действительно о точке F большен не упоминают и п тоже не упускали. Странно как-то.

(6 Май '17 20:38) Ivan120
10|600 символов нужно символов осталось
1

В принципе, можно дать решение и для того случая, и для другого.

Точки размещаются на окружности независимо и равномерно, поэтому порядок размещения не принципиален. Поэтому можно зафиксировать положение точки A. Далее размещаем точку B, и она оказывается на одной из двух полуокружностей AA', где A' -- диаметрально противоположная точка. Тогда можно одну из полуокружностей фиксировать, считая, что точка B на ней выбирается равномерно. Пусть ф -- случайная величина дуги AB этой полуокружности, где ф равномерно распределена на отрезке [0;п].

Теперь выбираем точку F на всей окружности, также равномерно. Если она попала в больший из секторов, то его площадь всегда превосходит пR^2/2. Если же она попала в меньший сектор, что происходит с вероятностью ф/(2п), то всё зависит от того, верно ли, что ф>п/2 для случая, когда нас интересует число пR^2/4 из условия, и соответственно ф>1/2, если множителя ф нет.

Теперь применим соображения геометрической вероятности, рассматривая прямоугольник размером п x (2п). Переобозначим для удобства случайные величины в виде X и Y. Найдём вероятность "неуспеха". Сделаем это сначала для случая пR^2/4. Если X>п/2, то имеет место успех. Если X<п/2, то для неуспеха точка F должна попасть в этот же маленький сектор, и тогда выполняться неравенство Y < X. Областью "неуспеха" оказывается равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом п/2, площадь которого равна п^2/8. Делим её на площадь всего прямоугольника, равную 2п^2, получая 1/16. Итого вероятность успеха равна 15/16. (Такой ответ недавно уже был в задаче о паролях, и это совпадение, возможно, указывает на правильность скорректированного варианта условия с множителем п.)

Для случая площади R^2/4 всё аналогично. Здесь должно быть Y < X < 1/2 для неуспеха, то есть площадь равна 1/8, и окончательным ответом будет величина 1-1/(16п^2), очень близкая к единице.

ссылка

отвечен 6 Май '17 21:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,954

задан
6 Май '17 19:37

показан
415 раз

обновлен
6 Май '17 21:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru