Показать, что множество A ⊂ R является борелевым и найти его меру Лебега: A = {(x, y) | 0 ≤ x, 0 ≤ y < e^(−x)*|sin(x)|}.

задан 6 Май '17 22:44

особенно интересует, как показать, что оно является борелевым, так как меру лебега вроде как нашел: взял интеграл от 0 до infinity = 1/2

(6 Май '17 23:15) Mester

Всякое открытое множество является борелевским, по определению. В данном случае к открытому множеству добавлен ещё луч оси Ox, а он является дополнением открытого множества, то есть тоже борелевский. Объединение борелевских множеств обладает тем же свойством, потому что все они образуют сигма-алгебру.

Эта часть как раз лёгкая, а вот как у Вас получилось значение несобственного интеграла 1/2, я не знаю. По-моему, это не так. Там интеграл от 0 до 3 уже будет больше.

(7 Май '17 0:34) falcao

у меня получилось интеграл равен I = -1/2 * e^(-x) * sin(x)/|sin(x)| * (cosx(x) + sin(x)) |0 to infinity; I(infinity) -> 0; I(0) -> -1/2; => I(0 to infinity) = 1/2, где-то ошибаюсь?);

луч оси Ох добавляем к открытому множеству - это к полуинтервалу [0, e^(−x)*|sin(x)|) ?

(7 Май '17 1:29) Mester

@Mester: здесь в условии опечатка: множество A рассматривается в R^2, так как оно состоит из пар. Это фигура, площадь которой Вы находите через интеграл. Если неравенство на y сделать строгим, получится открытое множество. Оно борелевское. Остаётся к нему добавить луч действительной оси, когда y=0, x>=0.

Ваших рассуждений с интегралом я не понимаю. Откуда там модуль в знаменателе, что означает домножение на cosx(x)+sin(x) (первое слагаемое вообще непонятно) -- это какой-то "ребус".

(7 Май '17 1:39) falcao

Все, про борелевость понял. Да в условие случайно опечатался конечно R^2. и в комментарии тоже опечатался - там (cos(x)+sin(x)), интеграл я брал по частям, где d|sinx| = sign(sin(x)) * cosx = sin(x)/|sin(x)| * cosx

(7 Май '17 1:49) Mester

@Mester: с интегралом всё прояснилось. Он вычисляется точно, только равен не 1/2, а 1/2+1/(e^п-1). Это довольно интересный пример. Я могу вскоре изложить, если хотите. Ответ 1/2 там получается, если синус идёт без модуля.

(7 Май '17 2:41) falcao

Если можно, то хочу)

(7 Май '17 2:45) Mester
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

Первообразная функции $%e^{-x}\sin x$% равна $%F(x)=-\frac12e^{-x}(\sin x+\cos x)$%, что можно проверить дифференцированием. Рассматривая несобственный интеграл как сумму интегралов по отрезкам вида $%[k\pi,(k+1)\pi]$% при $%k\ge0$% и учитывая, что при чётном $%k$% синус будет неотрицателен, а при нечётном $%k$% надо менять знак для интеграла с модулем, имеем $%F(\pi)-F(0)+F(\pi)-F(2\pi)+F(3\pi)-F(2\pi)+\cdots$%. Легко видеть, что $%F(0)=-\frac12$%, $%F(\pi)=\frac12e^{-\pi}$%, $%F(2\pi)=-\frac12e^{-2\pi}$%, и так далее.

В итоге несобственный интеграл, то есть мера Лебега рассматриваемой фигуры оказывается равен $%\dfrac12+e^{-\pi}+e^{-2\pi}+\cdots=\dfrac12+\dfrac1{e^{\pi}-1}\approx0,545$%.

ссылка

отвечен 7 Май '17 3:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,859
×433
×251

задан
6 Май '17 22:44

показан
703 раза

обновлен
7 Май '17 3:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru