Сходится ли на R последовательность fn(x) = χ(n,√(n2+n)), χ - индикатор множества, т.е. = 1, если х принадлежит множестве, иначе = 0 а) почти всюду, б) по мере Лебега?

задан 7 Май '17 1:34

а) я думаю, что на интервале у нас может быть бесконечно x => бесконечно много 1, и соотв. вне интервала у нас точно будет бесконечно много 0, а значит сходимости нет вообще б)√(n2+n) - n -> 1/2, n->infinity => сходимости по мере Лебега нет?

(7 Май '17 1:37) Mester

Здесь что-то не то с условием. Индикатор почему-то стал функцией двух переменных; какого именно множества -- не сказано. Выражение f_n(x) никак от x не зависит. Очередной "ребус" :)

(7 Май '17 1:43) falcao

Имеется ввиду интервал для какого-то натурального n (n, √(n2+n)) и fn(x) = 1 если x принадлежит этому интервалу, иначе 0

(7 Май '17 1:53) Mester

@Mester: до этого было очень трудно догадаться. Круглые скобки с какой только целью не используются -- надо было пояснить словами с самого начала. И вообще, множество у индикатора всегда идёт нижним индексом. Но теперь условие понятно.

(7 Май '17 2:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для любого $%x$% последовательность $%f_n(x)$% является нулевой при всех $%n > x$%. Поэтому $%f_n(x)$% всюду сходится к тождественно нулевой функции.

Сходимости по мере здесь нет (теорема о том, что сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере, верна в случае пространств конечной меры). Действительно, длина $%n$%-го интервала здесь равна $%\sqrt{n^2+n}-n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac1{\sqrt{1+n^{-1}}+1}\to\frac12$% при $%n\to\infty$%. Это значит, что если мы возьмём положительное $%\varepsilon < 1$%, то мера множества $%\{x\colon|f_n(x)|\ge\varepsilon\}=(n,\sqrt{n^2+n})$% будет стремиться к $%\frac12$%, а не к нулю.

ссылка

отвечен 7 Май '17 3:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,862
×433
×252

задан
7 Май '17 1:34

показан
545 раз

обновлен
7 Май '17 3:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru