$$\sqrt{a^{2}-x^{2}}>x+1$$ Найти все а при которых есть решения и указать все решения при найденных значениях a;

Стандартно разбил на две системы при x+1>=0 и x+1 <0, нашел значения а при которых есть решения, а само множество решений указать не смог:(

задан 7 Май '17 10:41

изменен 7 Май '17 10:41

10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно предложить графический способ решения. Легко видеть, что при $%a=0$% решений нет. При $%a\ne0$% строим два графика: $%y=x+1$% и $%y=\sqrt{a^2-x^2}$%. Второй график задаёт полуокружность радиусом $%|a|$% с центром в нуле.

Понятно, что решений не будет, когда полуокружность целиком содержится в нижней полуплоскости с границей $%y=x+1$%. Здесь надо рассмотреть "критический" случай касания, которое происходит в точке $%x=-\frac12$%, $%y=\frac12$% (точка касания удовлетворяет при этом условию $%y=-x$%). Ему соответствуют значения $%a^2=\frac12$%, и тогда понятно, что при $%|a|\le\frac1{\sqrt2}$% решений не будет.

При $%|a| > \frac1{\sqrt2}$% различаем два подслучая. Если $%|a|\le1$%, то прямая пересекает полуокружность в двух точках, и множеством решений будет интервал между ними. Абсциссы этих двух точек удовлетворяют квадратному уравнению $%a^2-x^2=x^2+2x+1$%, то есть $%2x^2+2x+1-a^2=0$%. Корнями будут $%\frac{-1\pm\sqrt{2a^2-1}}2$% (из графических соображений, их и должно быть два, поэтому дополнительные проверки не нужны). Получается, что при $%\frac1{\sqrt2} < |a|\le1$% множеством решений будет интервал $%x\in(\frac{-1-\sqrt{2a^2-1}}2,\frac{-1+\sqrt{2a^2-1}}2)$%.

Теперь пусть $%|a| > 1$%. Здесь точка пересечения графиков будет одна, а множеством решений будет полуинтервал от $%-|a|$% до этой точки пересечения, абсцисса которой равна положительному корню того же квадратного уравнения. Поэтому здесь множество решений описывается в виде $%x\in[-|a|,\frac{-1+\sqrt{2a^2-1}}2)$%.

ссылка

отвечен 7 Май '17 14:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,698

задан
7 Май '17 10:41

показан
292 раза

обновлен
7 Май '17 14:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru