Вычислить интеграл Лебега (K(x) — функция Кантора)

$$\\∫_0^1 (x + 2)K(x) dx$$

задан 7 Май '17 16:08

изменен 7 Май '17 16:08

10|600 символов нужно символов осталось
1

Канторова лестница делит единичный квадрат на две равных части. Отсюда следует, что интеграл от $%K(x)$% по отрезку равен $%1/2$%. Поэтому достаточно вычислить интеграл от функции $%xK(x)$%. Из общих соображений ясно, что такая функция интегрируема по Лебегу.

Заметим, что $%K(x)=\frac12K(3x)$% при $%x\in[0;\frac13]$%; $%K(x)=\frac12$% при $%x\in[\frac13;\frac23]$%, и $%K(x)=\frac12+\frac12K(3x-2)$% при $%x\in[\frac23;1]$%. Отсюда следует, что $%I=\int\limits_0^1xK(x)\,dx=\int\limits_0^{1/3}xK(x)\,dx+\int\limits_{1/3}^{2/3}xK(x)\,dx+\int\limits_{2/3}^1xK(x)\,dx$%.

Первое слагаемое равно $%\frac12\int\limits_0^{1/3}xK(3x)\,dx=\frac1{18}I$% после замены $%y=3x$%. Второе слагаемое равно $%\frac12\int\limits_{1/3}^{2/3}x\,dx$%. Третье равно $%\frac12\int\limits_{2/3}^1x\,dx+\frac12\int\limits_{2/3}^1xK(3x-2)\,dx$%. В последнем интеграле делаем замену $%y=3x-2$%, и получается $%\frac1{18}\int\limits_0^1(y+2)K(y)\,dy=\frac1{18}I+\frac1{18}$%.

Собирая всё вместе, получаем уравнение $%I=\frac1{18}I+\frac12\int\limits_{1/3}^1x\,dx+\frac1{18}I+\frac1{18}=\frac19I+\frac29+\frac1{18}$%. Отсюда $%I=\frac5{16}$%, и в ответе будет $%\frac5{16}+2\cdot\frac12=\frac{21}{16}$%.

ссылка

отвечен 7 Май '17 17:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265
×417

задан
7 Май '17 16:08

показан
563 раза

обновлен
7 Май '17 17:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru