|
Здравствуйте. Имеется отображение из C[a;b] в C[a;b] вида Ax(t)=x(t)-x^3(t). Необходимо доказать его непрерывность. Пытался через определение, но ничего хорошего из этого не выходит. Как еще можно доказать это? задан 7 Май '17 16:24 
evgen97_ |
|
Оператор линеен, поэтому достаточно доказать его непрерывность в нуле. Берём функцию, норма которой не превосходит положительного числа $%\delta$%. Это значит, что $%|x(t)|\le\delta$% для всех $%t\in[a,b]$%. Тогда $%|Ax(t)|\le|x(t)|+|x^3(t)|\le\delta+\delta^3$%. Ясно, что при $%\delta\to0$% эта величина также стремится к нулю, а потому она при достаточно малых $%\delta > 0$% будет меньше любого заданного положительного $%\varepsilon$%. Тем самым, $%\|Ax\| < \varepsilon$% при этих условиях, и всё доказано. отвечен 7 Май '17 17:38 
falcao |
Термин "изображение" (из заголовка) относится к другой области (операционное исчисление, преобразование Лапласа и т.п.).
Извиняюсь, действительно, перепутал.