$$3ax^2+(3a^3-12a^2-1)x-a(a-4)=0$$ Найти все значения параметра a, при которых все корни уравнения удовлетворяют условию |x|<1.

задан 7 Май '17 17:52

изменен 7 Май '17 19:53

@Lkehn: условие сформулировано плохо. В оригинале оно не могло так звучать. Могло иметься в виду следующее: найти все значения параметра $%a$%, при которых все корни уравнения удовлетворяют условию $%|x| < 1$%. Могло иметься в виду, что уравнение имеет два различных корня, удовлетворяющих этому условию. Исходя из сказанного, трактовку понять нельзя. Более того, сказанное вообще-то читается буквально как нахождение $%a$% для произвольного $%x$% с условием на модуль. Такая задача вообще-то тоже решается, хотя уравнение относительно $%a$% будет кубическим. Но нужна точная формулировка.

(7 Май '17 19:27) falcao

@falcao извините, я ошибся. "найти все значения параметра a, при которых все корни уравнения удовлетворяют условию |x|<1." - имелось введу именно это.

(7 Май '17 19:53) Lkehn
10|600 символов нужно символов осталось
1

Уравнение можно разложить на множители. Это разложение в принципе находится через дискриминант, или с использованием теоремы Виета, и получается $%(x+a^2-4a)(3ax-1)=0$%, что может быть проверено прямым раскрытием скобок.

Один из корней уравнения равен $%x=-(a^2-4a)$%. Согласно условию, должно выполняться двойное неравенство $%-1 < a^2-4a < 1$%, то есть $%3 < (a-2)^2 < 5$%. Отсюда $%\sqrt3 < |a-2| < \sqrt5$%, то есть $%a\in(2-\sqrt5,2-\sqrt3)\cup(2+\sqrt3,2+\sqrt5)$%.

При $%a=0$% других корней нет, и это значение подходит. При $%a\ne0$% имеется корень $%x=\frac1{3a}$%, для которого должно быть $%|3a| > 1$%, то есть $%|a| > \frac13$%. Очевидно, что числа из интервала $%(2+\sqrt3,2+\sqrt5)$% данному условию удовлетворяют. Что касается другого интервала, для него справедливы неравенства $%-\frac13 < 2-\sqrt5 < 2-\sqrt3 < \frac13$%, что следует из неравенств $%\sqrt3 > \frac53$% и $%\sqrt5 < \frac73$%, легко проверяемых возведением в квадрат. Это значит, что кроме $%a=0$% из этого промежутка ничего не подходит.

Окончательно имеем ответ $%a\in\{0\}\cup(2+\sqrt3,2+\sqrt5)$%.

ссылка

отвечен 7 Май '17 21:08

10|600 символов нужно символов осталось
0

Вот такая система

ссылка

отвечен 7 Май '17 17:57

изменен 7 Май '17 19:31

Дискриминант равен (3a3−12a2+1)^2

(7 Май '17 18:10) epimkin

f(1) и f(-1) сложить

(7 Май '17 18:22) epimkin

@epimkin: почему у Вас ветви параболы направлены вверх? Откуда такое допущение?

(7 Май '17 19:20) falcao

Ошибся, сейчас исправлю

(7 Май '17 19:25) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709

задан
7 Май '17 17:52

показан
328 раз

обновлен
7 Май '17 21:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru