Доказать, что в случае пространства бесконечной меры , сходимость последовательности функций по мере не влечёт сходимость последовательности квадратов функций по мере к квадрату предела.

задан 7 Май '17 18:13

изменен 7 Май '17 21:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

Будем рассматривать функции, заданные на луче $%x\ge1$% вещественной прямой. Положим $%f_n(x)=\sqrt{x}$% при $%x < n$% и $%f_n(x)=\sqrt{[x]}$% при $%x\ge n$%. Для любого $%x\ge1$% числовая последовательность $%f_n(x)$% становится постоянной, начиная с некоторого $%n$%. Поэтому $%f_n(x)$% сходится поточечно к $%f(x)=\sqrt{x}$%.

Для любого $%\delta > 0$% рассмотрим множество $%\{x\colon|f_n(x)-f(x)|\ge\delta\}$%. Оно оказывается пустым для достаточно больших $%n$%. Действительно, модуль разности равен нулю при $%x < n$%, а если $%x\ge n$%, то $%|f_n(x)-f(x)|=\sqrt{x}-\sqrt{[x]}=\frac{x-[x]}{\sqrt{x}+\sqrt{[x]}} < \frac1{\sqrt{x}}\le\frac1{\sqrt{n}} < \delta$% при $%n > \frac1{\delta^2}$%. Поэтому сходимость по мере имеет место.

Для квадратов функций получается $%f_n^2(x)=[x]$% при $%x\ge n$%, и $%f(x)=x$%. Положим $%\delta=\frac12$%. Множество $%\{x\colon|f_n(x)-f(x)|\ge\delta\}$% будет состоять из таких $%x\ge n$%, для которых $%x-[x]\ge\frac12$%, то есть это будет бесконечное объединение полуинтервалов вида $%[k+\frac12;k+1)$% при $%k\ge n$%. Мера такого множества бесконечна при любом $%n$%. Поэтому для квадратов функций сходимости по мере не будет.

ссылка

отвечен 8 Май '17 1:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×417
×273

задан
7 Май '17 18:13

показан
541 раз

обновлен
8 Май '17 1:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru