|
Пусть мера Лебега-Стилтьеса $%\mu_F$% задается функцией $% F(x) = arctg(x)+[\frac{3arctg(x)}{\pi}]\ $% ([y]-целая часть y, переопределенная в целых точках так, чтобы быть непрерывной слева).Найти $%\ а)\mu_F[0, \sqrt3], $% $%б)\mu_F(-\infty, -\frac{1}{\sqrt3}),\ $% $%в)\mu_F(Q) $% задан 7 Май '17 21:31 
Heimdallr |
|
Поскольку функция непрерывна слева, имеет место равенство $%F(x)-F(-\infty)=\mu_F(-\infty,x]$%. Для случая множества $%(-\infty,x)$%, его мера равна пределу $%F(t)-F(-\infty)$% при стремлении $%t$% к $%x$% слева. Заметим, что $%F(-\infty)=-\frac{\pi}2-2$%. Предел $%F(t)$% при $%t\to x-0$% можно для краткости обозначить в виде $%F(x-0)$%. а) В точке $%x=0$% функция имеет "скачок". Значение $%F(0-0)$% (предел слева) равно $%-1$%, значение $%F(0)$% равно нулю. Поэтому $%\mu_F[0,\sqrt3]=F(\sqrt3)-F(0-0)=\frac{\pi}3+2$%. б)Точка $%x=-\frac1{\sqrt3}$% является точкой непрерывности функции $%F(x)$%, так как под знаком целой части находится дробное число $%-\frac12$%. Отсюда $%\mu_F(-\infty,-\frac1{\sqrt3})=F(-\frac1{\sqrt3})+\frac{\pi}2+2=-\frac{\pi}6-1+\frac{\pi}2+2=\frac{\pi}3+1$%. в) Здесь мера равна сумме длин "скачков" функции в рациональных точках. Они имеют место тогда, когда под знаком целой части находится целое число. Поскольку арктангенс принимает значения от $%-\frac{\pi}2$% до $%\frac{\pi}2$%, это число находится в пределах от $%-\frac32$% до $%\frac32$%, то есть равно $%-1$%, $%0$% или $%1$%. Среднему из этих значений соответствует $%x=0$%, а двум остальным -- иррациональные числа $%\pm\sqrt3$%. Отсюда следует, что мера $%\mathbb Q$% совпадает с мерой одноэлементного множества $%\{0\}$%, и она равна "скачку" в нуле, то есть $%1$%. отвечен 8 Май '17 18:34 
falcao |
Почему так странно набран текст? Формулы надо окружать слева и справа скобками типа $%, а текст должен идти в обычном виде, без долларовых скобок.
Почему у F(x) получился нижний индекс (x)?
В конце текста какая-то путаница с круглыми скобками.
Спасибо, поправил.