|
Идея доказательства через характеристические функции несложная, но я изложу её так, чтобы не набирать длинных формул и сложных выражений. Надеюсь, что все необходимые детали могут быть восстановлены. Рассмотрим процесс ортогонализации Грама - Шмидта, применённый в системе векторов $%\xi_1$%, ... , $%\xi_n$% относительно скалярного произведения, задаваемого ковариацией. Получится ортогональная система с той же линейной оболочкой, то есть векторы попарно некоррелированные. Одна система переводится при этом в другую при помощи невырожденного линейного преобразования. Тогда задача сводится к случаю некоррелированных величин: если доказать гауссовость такого вектора, то посредством линейного преобразования из него также получается гауссов вектор, и всё доказано. Для некоррелированного случая мы знаем дисперсию линейной комбинации (ковариация с.в. с собой), которая равна $%c_1^2D\xi_1+\cdots+c_n^2D\xi_n$%. Матожидание мы также знаем, и оно равно $%c_1M\xi_1+\cdots+c_nM\xi_n$%. По условию, данный одномерный вектор гауссов, и тогда мы можем выписать в явном виде его характеристическую функцию. Её значение в точке $%t=1$% равно значению многомерной х.ф. случайного вектора $%(\xi_1,...,\xi_n)$% в точке $%(c_1,...,c_n)$%. Получается явный вид х.ф. для этого вектора, и он совпадает с общим видом х.ф. многомерного гауссова распределения для соответствующего выбора констант. Дополнительно отсюда усматривается, что некоррелированность компонент влечёт их независимость в совокупность, так как многомерной х.ф. получается равна произведению х.ф. для отдельных компонент (каждая -- от своей переменной). отвечен 1 Июн '17 19:56 
falcao @falcao: не могли бы Вы чуть подробнее объяснить, как всё свелось к некоррелированному случаю?
(1 Июн '17 23:49)
stander
@stander: а я уже объяснил. Есть евклидово пространство со скалярным произведением cov. Применяем процесс ортогонализации. Получается ортогональная система. Попарные ковариации при этом равны нулю. Эта идея более удобна нежели приведение формы к сумме квадратов.
(1 Июн '17 23:54)
falcao
@falcao: но процесс Грама-Шмидта про линейно независимые векторы. Наши компоненты вектора могут быть и зависимы, в принципе, как случайные величины.
(3 Июн '17 1:52)
stander
|
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
7 Май '17 22:58
показан
462 раза
обновлен
3 Июн '17 2:28
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Это одно из эквивалентных определений. В учебниках часто упоминается, но не всегда доказывается эквивалентность этого определения другому, которое даётся через явный вид многомерной плотности.
Идея там состоит в приведении формы к сумме квадратов, но расписывать всё в деталях довольно долго. Подходящей ссылки на русском я не нашёл, а на английском есть доказательство здесь.
@stander: Вы имеете в виду Лемму 1 по ссылке? Надо рассмотреть x.ф. случайного вектора (Y1,Y2). По определению, это будет ф(a1,a2)=Mexp(i(a1Y1+a2Y2)). Случайная величина a1Y1+a2Y2 гауссова по условию. Матожидание равно 0, а дисперсия равна a1^2+a2^2 по причине некоррелированности. Тогда мы берём значение одномерной х.ф. в точке t=1, и это будет exp(-(a1^2+a2^2)/2), то есть произведение х.ф. Y1 в точке a1 и Y2 в точке a2. Для пары независимых с.в. будет именно такой ответ, и в силу единственности х.ф. получаем, что Y1, Y2 независимы.
@falcao: нет, я имею в виду саму эквивалентность определений. Мне интересно, как это можно было бы доказать через хар.функции. Вроде должно получиться даже проще, чем по ссылке.
@stander: мне такая идея в голову не приходила. Но она, наверное, как-то сработать может. Надо только использовать что-то подходящее из линейной алгебры -- если выбрать подходящий базис, то будет похоже на то, что в Лемме 1 делается для двух некоррелированных с.в. Возможно, даже этого не надо, так как у линейной комбинации параметры выражаются, и х.ф. можно выразить. Но там обозначения будут громоздкие, а я такого стараюсь всегда по возможности избегать. "Больше слов, меньше формул" :)
@falcao: я еще раз все это перечитываю, и мне почему-то кажется, что мы доказали нормальность компонент вектора, а не самого вектора. Как доказать нормальность именно всего вектора?
@stander: я писал про доказательство Леммы 1. Там нужно было установить независимость, что и было сделано.
На самом деле, тут с помощью характеристических функций действительно возможно всё доказать прямо, без лемм. Если это ещё сохранило актуальность, могу попробовать изложить.
@falcao: я была бы Вам очень благодарна. Изложите, пожалуйста.