найти $%\int f (x)dx,$% где $%f (x)=|x|-|x-2|$%

задан 7 Май '17 23:40

10|600 символов нужно символов осталось
0

Данная функция кусочно-линейна. Нетрудно нарисовать её график. Она тождественно равна $%-2$% при $%x\le0$%, далее равна $%2x-2$% на отрезке от $%0$% до $%2$%, и равна константе $%2$% при $%x\ge2$%.

Достаточно указать одну первообразную $%F(x)$% для данной функции. Все остальные, как обычно, будут отличаться на константу.

Будем считать, что $%F(x)=-2x$% при $%x\le0$%. На отрезке $%x\in[0;2]$% надо взять такую первообразную функции $%2x-2$%, чтобы в месте склейки двух графиков (то есть в нуле) имела место непрерывность. С точностью до константы, нам нужно $%x^2-2x+C_1$%. Значение в нуле должно быть равно нулю, поэтому $%C_1=0$%, и мы полагаем $%F(x)=x^2-2x$% при $%x\in[0;2]$%. Теперь на луче $%x\in[2;+\infty)$% нам нужна функция вида $%2x+C_2$%, чтобы в точке $%x=2$% значения двух функций совпали. Составляя уравнение, видим, что $%C_2=-4$%. Таким образом, $%F(x)=2x-4$% при $%x\ge2$%. Получилась кусочно-полиномиальная функция. Её график также легко изображается: часть параболы на отрезке от $%0$% до $%2$%, и два касательных луча в крайних точках по бокам.

Можно также записать ответ в виде $%\frac12x^2{\rm sign}(x)-\frac12(x-2)^2{\rm sign}(x-2)+C$%.

ссылка

отвечен 8 Май '17 0:34

@falcao что такое sign?

(8 Май '17 21:59) s1mka

@s1mka: это знак числа. Определение такое: sign(x)=1 при x > 0, sign(0)=0, и sign(x)=-1 при x < 0. Если Вы не имели дела с этим обозначением, то последнюю фразу можно проигнорировать. Я её привёл в качестве дополнительной информации.

Можно ещё отметить, что x=|x|sign(x), и наоборот: |x|=x sign(x).

Вот ссылка на всякий случай. Обозначают и sign, и signum, и sgn (для краткости).

(8 Май '17 22:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,672

задан
7 Май '17 23:40

показан
389 раз

обновлен
8 Май '17 22:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru