Доказать, что во всяком измеримом числовом множестве положительной меры найдется неизмеримое подмножество.

задан 8 Май '17 14:10

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь надо действовать по аналогии с построением неизмеримого множества Витали. Идея в точности та же.

Прежде всего, разобьём числовую прямую на счётное число полуинтервалов вида $%[k,k+1)$%, где $%k$% целое. Хотя бы с одним из них наше множество положительной меры пересекается по множеству положительной меры. Поэтому можно считать, что наше множество изначально содержится в $%[0;1)$%.

Теперь, как и в конструкции Витали, рассматриваем отношение ~ на [0,1), полагая x ~ y тогда и только тогда, когда разность x-y рациональна. Это отношение эквивалентности, и мы имеем разбиение полуинтервала на счётные классы эквивалентности (при этом само множество классов несчётно). Выбираем в каждом из классов по представителю (здесь используется аксиома выбора). Получаем некоторое подмножество A, и при этом [0,1) является счётным объединением сдвигов множества A на некоторое рациональное число (при склейке в окружность).

Перенумеруем все сдвиги множества A, обозначая их A(1), ... , A(n), ... . Множество X положительной меры не может пересекаться с каждым из A(n) по множеству нулевой меры, так как в противном случае оно имело бы нулевую меру. Если X пересекается с каким-то множеством A(n) по множеству положительной меры, то в каждом из множеств A(1), A(2), ... имеется сдвиг этого подмножества, имеющей ту же меру, и тогда отрезок содержит бесконечное число множеств одной и той же положительной меры, которые попарно не пересекаются. Это противоречит тому, что отрезок имеет меру 1.

Остаётся единственный вариант, когда X пересекается с некоторым A(n) по неизмеримому подмножеству. Это и требовалось установить.

ссылка

отвечен 8 Май '17 15:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×417

задан
8 Май '17 14:10

показан
600 раз

обновлен
8 Май '17 15:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru