докажите, что для любого натурального числа n истинно:

$%\frac {1}{2}+\frac {3}{2^2}+...+ \frac {2n-1}{2^n}=3-\frac {2n+3}{2^n}$%

$%\frac {1}{2}+\frac {3}{2^2}+...+ \frac {2k-1}{2^k} +\frac{2(k+1)-1}{2^{k+1}} =3-\frac{2(k+1)+3}{2^{k+1}} $%

$%\frac {1}{2}+\frac {3}{2^2}+...+ \frac {2k-1}{2^k} +\frac{2(k+1)-1}{2^{k+1}} =3-\frac {2n+3}{2^n}+\frac{2(k+1)-1}{2^{k+1}}=3-\frac{2k+5}{2^{k+1}} $%

задан 8 Май '17 15:11

изменен 20 Май '17 22:38

Это типовое упражнение, оно делается по стандартной схеме. Сначала проверяется, что при n=1 оно верно. Далее считаем, что при n=k оно доказано, и проверяем, что при n=k+1 оно тоже верно. Для этого достаточно к предыдущему значению суммы прибавить следующий, то есть (k+1)-й член, и совершить арифметические действия.

Это всё можно разучить по примерам. Посмотрите брошюру Соминского, например.

Здесь, правда, условие неверное, поэтому ничего доказать нельзя. При n=1 правая часть равна -2, а должно быть 1/2. Не говоря о том, что в числителях нет закономерности.

(8 Май '17 16:11) falcao

@s1mka: в левой части ошибку исправили, а в правой не исправили. Там в знаменателе не n^2, а 2^n. Тогда всё легко доказывается по схеме.

(8 Май '17 18:41) falcao

@s1mka: мало ли что там написано? Я говорю, что должно быть 2^n вместо n^2. При такой замене получается верная формула, а при n^2 неверная, и её доказать невозможно. Надо или решать скорректированный вариант, или выбросить ошибочно составленное задание.

(8 Май '17 19:22) falcao

@s1mka: это всё решается как обычно. Берём равенство для n=k, которое уже доказано. Прибавляем к обеим частям (k+1)-й член. Делаем тождественные преобразования, и получаем то, что нужно.

Если не знаете, как такие вещи делать (хотя это ну совсем элементарно!), то почитайте брошюру Соминского.

(20 Май '17 11:29) falcao

@s1mka: вот Вы вопрос закрыли, а ведь здесь всё неправильно решено. Левую часть вообще не надо трогать, а правую часть надо тождественно преобразовать. Там после приведения к общему знаменателю не получится 6k+11. Это Вы знаки перепутали. Не говоря о том, что при переходе от первого равенства ко второму прибавили совсем разные выражения!

(20 Май '17 21:39) falcao

@s1mka: тут куча арифметических ошибок, самых нелепых. К левой части равенства (при n=k) прибавили (2(k+1)-1)/2^{k+1}. Тогда и к правой части надо прибавить то же самое, а прибавили другое. В числителе должно быть 2k+1, а не 2k+3. Приведение к общему знаменателю осуществлено неверно. Никаких 6k там быть не должно. А левую часть вообще трогать не надо.

(20 Май '17 22:23) falcao

@falcao я сделала так как вы написали но у меня в правой части почему то 5 получается, что я делаю не так?

(20 Май '17 22:39) s1mka

@s1mka: теперь всё стало правильно. Должно получиться именно 2k+5=2(k+1)+3. Ведь у нас теперь стало n=k+1, то есть это 2n+3, как и заказывали. Только там в одном месте опечатка: написано n вместо k.

(20 Май '17 22:41) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,862

задан
8 Май '17 15:11

показан
337 раз

обновлен
20 Май '17 22:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru